Ре­ше­ние. Обо­зна­чим центр впи­сан­но­го шара за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за M и точку пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти OBC с реб­ром AS за Q. Тогда:

если опу­стить пер­пен­ди­ку­ля­ры AA₁ и SS₁ на плос­кость BCQ, то пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁Q и SS₁Q будут по­доб­ны по остро­му углу Оста­лось найти это от­но­ше­ние.

Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда бо­ко­вое ребро Далее,

а точка H делит от­ре­зок AM в от­но­ше­нии по­это­му Кроме того,

За­ме­тим, что точка O лежит на бис­сек­три­се угла HMT, по­сколь­ку она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон: впи­сан­ная сфера ка­са­ет­ся апо­фе­мы SM и плос­ко­сти ос­но­ва­ния в точке H, по­это­му

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASH и пря­мой QOM. По­лу­чим:

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние боль­шей части к мень­шей равно 4.

Ответ: 4.