Ре­ше­ние. Пусть у приз­мы ABCA₁B₁C₁ AA₁  =  12, AC  =  CB  =  15, AB  =  18. До­стро­им рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ACB до ромба ACBD. Тогда AD па­рал­лель­на BC и плос­ко­сти B₁C1 и AD  =  BC  =  B₁C₁, по­это­му точки A, D, B₁, C₁ яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма и AC₁ па­рал­лель­на DB₁. Зна­чит,

Пусть M  — се­ре­ди­на AB и се­ре­ди­на CD. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр AT на пря­мую MB₁ и до­ка­жем, что это и есть нуж­ное рас­сто­я­ние. В самом деле, AB пер­пен­ди­ку­ляр­на CD, как диа­го­на­ли ромба, BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на CD по­сколь­ку BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, зна­чит, CD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AA₁B₁B, а A₁T лежит в AA₁B₁B. Итак, AT пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и AT пер­пен­ди­ку­ляр­на MB₁. Зна­чит,

Ответ: