Высота SO правильной четырехугольной пирамиды SABCD составляет с плоскостью боковой грани SCD угол 30°. Через сторону основания AB пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная плоскости SCD. Найдите отношение объема пирамиды к объему многогранника, заключенного между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Решение. Пусть O — центр основания пирамиды, M и N — середины ребер AB и CD соответственно, тогда плоскость SMN перпендикулярна CD, поскольку SO перпендикулярна CD и SN перпендикулярна CD. Опустим из O перпендикуляр на SN. Он будет лежать в плоскости MSN и потому будет перпендикулярен CD. Поскольку он еще и перпендикулярен SN, он будет перпендикулярен всей плоскости SCD. Значит, SN — проекция SO на грань SCD и потому 
Значит, 
и треугольник SMN равносторонний, так как является равнобедренным с углом 60°.
Пусть K, E и F — середины отрезков SN, SC и SD соответственно. Тогда MK — медиана и высота треугольника SMN. Кроме того, MK лежит в плоскости SMN, поэтому MK перпендикулярна CD. Значит, MK перпендикулярна плоскости SCD.
Значит, плоскость ABK, содержащая ее, перпендикулярна плоскости SCD. Поскольку EF параллельна CD и AB и K принадлежит EF, точки E и F лежат в этой же плоскости и сечением пирамиды будет трапеция ABEF.
Обозначим ребро основания пирамиды за 2a, тогда высота пирамиды равна:
и объем пирамиды равен:
Найдем теперь объем пирамиды SABEF. Заметим, что SK перпендикулярна MK и SK перпендикулярна FE, поэтому SK — высота пирамиды. Значит,
Тогда объем второй части пирамиды равен
Наконец, искомое отношение равно
Ответ: 8 : 5.
Ответ: 8 : 5.
PDF-версии: 