РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 1425 Добавить в вариант

Задания на 8 баллов

Решите систему уравнений $система выражений 3 в степени левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка =15, логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус y в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка . конец системы .$

Решение. Упростим первое предложение системы:

$3 в степени левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка =15 равносильно 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка =15 равносильно 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка =5 равносильно x в квадрате плюс y в квадрате =5.$

Аналогично поступим и со вторым, то есть упростим его:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус y в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате =x минус y,x минус y больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =x минус y,x больше y конец системы . \undersetx не равно y\mathop равносильно система выражений x плюс y=1,x больше y. конец системы .$

Тогда исходная система равнасильна следующей:

$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =5,x плюс y=1,x больше y конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате минус 5=0,x=1 минус y,x больше y конец системы . равносильно система выражений y в квадрате минус y минус 2=0,x=1 минус y,x больше y конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений y=2,y= минус 1, конец системы . x=1 минус y,x больше y конец совокупности . равносильно система выражений x=2,y= минус 1. конец системы .$

Ответ: {(2; −1)}.

Приведем другое решение.

Первое уравнение можно преобразовать как

$3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка =15 равносильно x в квадрате плюс y в квадрате =5.$

Второе уравнение можно преобразовать к виду $x в квадрате минус y в квадрате =x минус y$ при условии $x минус y больше 0.$

Сокращая второе уравнение на $x минус y$ (оно не равно нулю), получим

$x плюс y=1 равносильно y=1 минус x.$

Подставляя в первое уравнение, получаем

$x в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате =5 равносильно x в квадрате плюс 1 минус 2x плюс x в квадрате =5 равносильно 2x в квадрате минус 2x минус 4=0 равносильно x в квадрате минус x минус 2=0 равносильно совокупность выражений x= минус 1,x=2. конец совокупности .$

Если $x= минус 1,$ то $y=1 минус x=2.$ Значит, $x минус y= минус 3 меньше 0.$ Эти числа не подходят.

Если $x=2,$ то $y=1 минус x= минус 1.$ Значит, $x минус y=3 больше 0.$ Эти числа подходят.

Ключ