Ре­ше­ние. Удоб­но пред­став­лять себе вер­ши­ны пра­виль­но­го ок­та­эд­ра как цен­тры гра­ней куба. Пусть ребро куба равно Тогда рас­сто­я­ние от цен­тра куба, он же центр ок­та­эд­ра, до всех вер­шин ок­та­эд­ра будет равно a.

Пусть O  — центр куба, A, B, C  — цен­тры трех гра­ней куба, яв­ля­ю­щи­е­ся вер­ши­на­ми одной грани ок­та­эд­ра. Тогда ра­ди­ус впи­сан­ной сферы ок­та­эд­ра равен рас­сто­я­нию от точки O до плос­ко­сти ABC. Най­дем его.

Рас­смот­рим ребро ок­та­эд­ра  — от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры смеж­ных гра­ней куба. Пусть A₁, K, C₁  — се­ре­ди­ны ребер K1L₁, N₁M₁ и NM куба KLMNK₁L₁M₁N₁ со­от­вет­ствен­но. Пусть также A и C  — цен­тры гра­ней K₁L₁M₁N₁ и MNN₁M₁. Тогда AC  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка FA₁C₁, по­это­му По­сколь­ку A₁K₁  =  FN₁  =  C₁N и A₁K₁ па­рал­ле­лен FN₁ и C₁N, точки A₁, K₁, N, C₁ яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Итак,

Те­перь можно вы­чис­лить вы­со­ту пи­ра­ми­ды с по­мо­щью объ­е­ма:

На­ко­нец, най­дем от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: