Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ос­но­ва­ние пря­мой приз­мы  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с бо­ко­вой сто­ро­ной b и углом при ос­но­ва­нии  альфа . Диа­го­наль бо­ко­вой грани, со­дер­жа­щей ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка, об­ра­зу­ет с бо­ко­вым реб­ром угол  бета . Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, впи­сан­но­го в приз­му.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть BC  =  x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC имеем

b в квад­ра­те =b в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те минус 2 умно­жить на b умно­жить на x умно­жить на ко­си­нус альфа рав­но­силь­но x=2b ко­си­нус альфа .

Ис­поль­зуя фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка S=pr и S= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус альфа b c по­лу­ча­ем

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус альфа умно­жить на b умно­жить на 2b ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка b плюс b плюс 2b ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка r рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но b в квад­ра­те синус альфа ко­си­нус альфа =b левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка r рав­но­силь­но r= дробь: чис­ли­тель: b синус альфа ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа плюс 1 конец дроби .

Далее найдём вы­со­ту приз­мы, ко­то­рая также яв­ля­ет­ся вы­со­той ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCC1 CC_1=\ctg бета BC, то есть CC_1=\ctg бета умно­жить на 2b ко­си­нус альфа . Ис­поль­зуя фор­му­лу пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра имеем

S=\ctg бета умно­жить на 2b ко­си­нус альфа умно­жить на 2 умно­жить на Пи умно­жить на дробь: чис­ли­тель: b синус альфа ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4b в квад­ра­те Пи ко­си­нус в квад­ра­те альфа синус альфа \ctg бета , зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа плюс 1 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 4b в квад­ра­те Пи ко­си­нус в квад­ра­те альфа синус альфа \ctg бета , зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа плюс 1 конец дроби .

Классификатор алгебры: 3.13. Про­чие пря­мые приз­мы, 3.24. Ком­би­на­ции мно­го­гран­ни­ков и круг­лых тел, 4.3. Пло­щадь по­верх­но­сти круг­лых тел
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние три­го­но­мет­рии, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов