Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 6 № 166

Основание пирамиды — ромб с углом 30°. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если радиус вписанной в ромб окружности равен  корень из { 3} см.

Спрятать решение

Решение.

Пусть данные задачи изображены на рисунке (см. рис).

Так как боковые грани пирамиды наклонены под одинаковым углом к плоскости основания, высота SO пирамиды падает в центр вписанной в ромб ABCD окружности (точка O также является точкой пересечения диагоналей ромба).

Пусть высота ромба равна h см, а сторона x см. Так как высота равна двум радиусам вписанной окружности, h=2 корень из 3 . Выразим площади ромба, найдём x:

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на x умножить на h = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на синус 30 в степени circ умножить на x умножить на x \underset{x больше 0}{\mathop{ равносильно }} x = 2h равносильно x = 4 корень из 3 .

Проведём апофему SH, перпендикуляр OH к стороне CD. Угол SHO — линейный угол двугранного угла, он равен 60°. В прямоугольном треугольнике SHO катет OH лежит против угла величиной 30°, поэтому SH = 2OH = 2 корень из 3 см. Найдём площадь S боковой поверхности исходной пирамиды:

S = 4 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на SH умножить на CD = 2 умножить на 2 корень из 3 умножить на 4 корень из 3 = 48 см в степени 2 .

 

Ответ: 48 см2.

Классификатор геометрии: 2.4 Произвольная пирамида и ее свойства