Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 10 № 170

Основанием конуса служит круг, вписанный в основание правильной треугольной призмы. Вершина конуса лежит на другом основании призмы. Найдите объем призмы, если объем конуса равен 2 корень из { 3} Пи см2.

Спрятать решение

Решение.

Пусть данные задачи изображены на рисунке (см. рис).

Высота конуса одновременно является высотой призмы, в которую он вписан. Радиус r окружности основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы (равносторонний треугольник). Выразим сторону AB основания призмы:

AB = r : дробь, числитель — корень из 3 , знаменатель — 6 = 2 корень из 3 r.

Теперь выразим объёмы конуса и призмы:

V_{конуса} = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 PO умножить на Пи r в степени 2 ; V_{призмы}=PO умножить на S_{ABC} = PO умножить на дробь, числитель — корень из 3 умножить на AB в степени 2 , знаменатель — 4 =PO умножить на 3 корень из 3 r в степени 2 .

Таким образом, объём призмы больше объёма конуса в  дробь, числитель — 9 корень из 3 , знаменатель — Пи раз. Имеем:

V_{призмы} = дробь, числитель — 9 корень из 3 , знаменатель — Пи умножить на V_{конуса} = дробь, числитель — 9 корень из 3 , знаменатель — Пи умножить на 2 корень из { 3} Пи = 54 см в степени 3

 

Ответ: 54 см3.

Классификатор геометрии: 2.2 Произвольная призма и ее свойства, 3.2 Конус, усеченный конус, их свойства. Развертки конусов, 4.2 Задачи на комбинации тел