Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 плюс 8x минус 4x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 4x плюс 4x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant4 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те \leqslant4 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 1 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка |1 плюс 2x|\leqslant4 \undersetx боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \mathop рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус 3\leqslant0.

Пусть t= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка , тогда:

t плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: t конец дроби минус 3 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 3t плюс 2, зна­ме­на­тель: t конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t конец дроби мень­ше или равно 0.

 

С по­мо­щью ме­то­да ин­тер­ва­лов по­лу­ча­ем, что:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t мень­ше 0,1 мень­ше или равно t мень­ше или равно 2. конец со­во­куп­но­сти .

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной и решим пер­вое не­ра­вен­ство со­во­куп­но­сти:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка 1 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс 1 боль­ше 1, 5 минус 2x боль­ше 0,5 минус 2x мень­ше 1, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше 2x плюс 1 мень­ше 1,5 минус 2x боль­ше 1 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 0, x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x боль­ше 2, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше 0,x мень­ше 2 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x боль­ше 2, конец си­сте­мы . минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше 0. конец со­во­куп­но­сти .

Те­перь решим вто­рое не­ра­вен­ство со­во­куп­но­сти:

1 мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс 1 боль­ше 1,2x плюс 1 мень­ше или равно 5 минус 2x мень­ше или равно левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше 2x плюс 1 мень­ше 1,2x плюс 1 боль­ше или равно 5 минус 2x боль­ше или равно левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 0,2x плюс 1 мень­ше или равно 5 минус 2x,5 минус 2x мень­ше или равно 4x в квад­ра­те плюс 4x плюс 1, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше 0,2x плюс 1 боль­ше или равно 5 минус 2x,5 минус 2x боль­ше или равно 4x в квад­ра­те плюс 4x плюс 1 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 0,x\leqslant1,2x в квад­ра­те плюс 3x минус 2\geqslant0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше 0,x\geqslant1,2x в квад­ра­те плюс 3x минус 2\leqslant0 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 0,x\leqslant1,2x в квад­ра­те плюс 3x минус 2\geqslant0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше 0,x\geqslant1, минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . минус нет реш. конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 0,x\leqslant1, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x\leqslant минус 2,x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x мень­ше или равно 1. конец си­сте­мы .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Классификатор алгебры: 5.8. Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та, Груп­пи­ров­ка, раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли, Метод ин­тер­ва­лов