Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пи­ра­ми­де FABC через ме­ди­а­ну AH ос­но­ва­ния ABC и точке L бо­ко­во­го ребра BF (BL : LF = 4 : 1) про­ве­де­на плос­кость. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма мно­го­гран­ни­ка ACHLF к объ­е­му пи­ра­ми­ды ABLH.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ты FN и LM пи­ра­мид FABC и LABH. В тре­уголь­ни­ках FBN и LBM угол \angle FBN  — общий, а углы \angle BML и \angle BNF  — пря­мые, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, от­ку­да:

 

 дробь: чис­ли­тель: BL, зна­ме­на­тель: AF конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ML, зна­ме­на­тель: NF конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: BL, зна­ме­на­тель: BL плюс LF конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ML, зна­ме­на­тель: NF конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 4BL, зна­ме­на­тель: 5BL конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ML, зна­ме­на­тель: NF конец дроби рав­но­силь­но 1,25ML=NF.

 

За­ме­тим, что:

V_A_C_H_L_F=V_F_A_B_C минус V_A_L_B_H= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби FN умно­жить на S_A_B_C минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ML умно­жить на S_A_B_H=

 

 дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ML умно­жить на S_A_B_C минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ML умно­жить на S_A_B_H= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ML левая круг­лая скоб­ка 1,25S_A_B_C минус S_A_B_H пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Так как AH  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC, то S_A_B_C=2S_A_B_H. Тогда:

V_A_C_H_L_F= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ML умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1,25S_A_B_C минус S_A_B_H пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ML умно­жить на 1,5S_A_B_H.

Най­дем от­но­ше­ние объёмов:

 дробь: чис­ли­тель: V_A_C_H_L_F, зна­ме­на­тель: V_A_L_B_H конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ML умно­жить на 1,5S_A_B_H, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ML умно­жить на S_A_B_H конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1,5, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

Ответ: 3:2.

Классификатор алгебры: 3.6. Не­пра­виль­ные пи­ра­ми­ды, 4.2. Объем мно­го­гран­ни­ка, 5.4. Дру­гие за­да­чи на по­стро­е­ние се­че­ний, 5.10. Се­че­ние делит от­ре­зок
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние по­до­бия, Свой­ства ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка