Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 286
i

Из вер­ши­ны A пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­ден к его плос­ко­сти пер­пен­ди­ку­ляр AM. Точка M со­еди­не­на с точ­ка­ми B и C. Дву­гран­ный угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стя­ми ABC и MBC, равен 60°. Най­ди­те тан­генс угла, об­ра­зо­ван­но­го пря­мой MB с плос­ко­стью тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту AH в тре­уголь­ни­ке ABC. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах MH пер­пен­ди­ку­ляр­но BC, а угол AMH яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла плос­ко­стей ABC и MBC. Тогда по усло­вию угол MHA равен 60°. От­ре­зок AH= дробь: чис­ли­тель: AB ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , так как тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний. Ги­по­те­ну­за пря­мо­гуль­но­го тре­уголь­ни­ка MH в два раза боль­ше от­рез­ка AH, так как он лежит про­тив угла 30°. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке MAH най­дем боль­ший катет: AM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MH в квад­ра­те минус AH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3AB в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 3AB в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3AB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MAB найдём тан­генс угла MBA:

тан­генс \angleMBA= дробь: чис­ли­тель: AM, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Классификатор алгебры: 1.4. Угол между пря­мой и плос­ко­стью
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра, Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024