Образовательный портал «РЕШУ ЦТ» — математика–11

Задания

Задание № 289 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.1. Уравнения первой и второй степени относительно логарифмических функций

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Метод интервалов , Метод рационализации

Задания на 9 баллов

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 20x плюс 25 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка \geqslant0.$

Решение. Заметим, что $7 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате ,$ а $2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ Найдём область допустимых значений неравенства:

$система выражений 4x в квадрате минус 20x плюс 25 больше 0,x в квадрате минус x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате больше 0, совокупность выражений x меньше минус 1,x больше 2 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус 1,2 меньше x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Исходное неравенство равносильно следующему:

$логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка |2x минус 5| минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0$

Применим теорему о знаке логарифма:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка |2x минус 5| минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0\undersetО. Д. З.\mathop равносильно левая круглая скобка |2x минус 5| минус левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0\underset1 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше 0\mathop равносильно \;$

$\underset1 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше 0\mathop равносильно \; |2x минус 5| минус левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно |2x минус 5| меньше или равно x в квадрате минус x минус 2 равносильно совокупность выражений 2x минус 5 меньше или равно x в квадрате минус x минус 2,\;x больше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,5 минус 2x меньше или равно x в квадрате минус x минус 2,x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности .$

Так как первое предложение совокупности верно для $x больше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,$ то последняя совокупность равносильна следующему неравенству:

$x в квадрате плюс x минус 7 больше или равно 0 равносильно совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x больше или равно дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Наконец учтём О. Д. З. и получим:

$совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: минус 1 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: минус 1 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; 2,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2,5 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

289

$левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; 2,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2,5 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 5.1. Уравнения первой и второй степени относительно логарифмических функций

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Метод интервалов , Метод рационализации

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	289	$левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; 2,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2,5 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$