Ре­ше­ние. Шар с цен­тром в точке O впи­сан в пи­ра­ми­ду PABC. PM  — апо­фе­ма пи­ра­ми­ды, AM  — вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда MO  — бис­сек­три­са угла PMH.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PHM. Пусть HM = a, тогда PM = 2a, так как угол HPM равен 30°. Тогда

По тео­ре­ме о бис­сек­три­се тре­уголь­ни­ка зна­чит, PO = 2 см, тогда PH = 3 см. От­сю­да см, а см.

Точка H  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, тогда см и см.

Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Ответ: см².