Образовательный портал «РЕШУ ЦТ» — математика–11

Задания

Задание № 340 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.2. Правильная треугольная пирамида, 3.17. Конус, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел, 4.4. Объёмы круглых тел

В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус, и около нее описан конус. Найдите разность объемов описанного и вписанного конусов, если высота пирамиды равна 8, а длина окружности основания вписанного конуса равна $2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента Пи .$

Решение. Найдем радиус основания вписанного конуса, зная длину этой окружности $r= дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента Пи , знаменатель: 2 Пи конец дроби = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см.$

Так как данная пирамида правильная по условию, то в ее основании лежит квадрат. Тогда, зная, что радиус описанной окружности в корень из двух раз больше радиуса вписанной окружности, получим $R=r корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =2см.$

Найдем объемы обоих вписанных конусов и вычислим их разность:

$V_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_осн. умножить на h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи R в квадрате умножить на h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на 2 в квадрате умножить на 8= дробь: числитель: 32 Пи , знаменатель: 3 конец дроби см в кубе .$

$V_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_осн. умножить на h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в квадрате умножить на h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате умножить на 8 = дробь: числитель: 16 Пи , знаменатель: 3 конец дроби см в кубе .$

$V_1 минус V_2= дробь: числитель: 32 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 16 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 16 Пи , знаменатель: 3 конец дроби см в кубе .$

Ответ: $дробь: числитель: 16 Пи , знаменатель: 3 конец дроби см в кубе .$

340

$дробь: числитель: 16 Пи , знаменатель: 3 конец дроби см в кубе .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	340	$дробь: числитель: 16 Пи , знаменатель: 3 конец дроби см в кубе .$