Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Апо­фе­ма пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 5 см. Тан­генс дву­гран­но­го угла при ребре ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равен  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке PMH:  дробь: чис­ли­тель: PH, зна­ме­на­тель: MH конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , так как это от­но­ше­ние и есть тан­генс дву­гран­но­го угла при ребре ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Пусть PH  =  4x, а HM  =  3x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке PMH имеем:  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16x в квад­ра­те плюс 9x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =5. От­ку­да по­лу­ча­ем, что x  =  1, то есть PH  =  4, а HM  =  3. От­ре­зок AD в два раза боль­ше от­рез­ка HM, зна­чит, что AD  =  6, а пло­щадь квад­ра­та ABCD равна 36. Найдём пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти:

S=S_осн плюс S_бок=S_осн плюс дробь: чис­ли­тель: P_осн, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на h= дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 5 плюс 36 =96.

Ответ: 96.

Классификатор алгебры: 3.3. Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, 4.1. Пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ков
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра