Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Вы­со­та пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 5 см. Ко­си­нус дву­гран­но­го угла при ребре ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равен  дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби . Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке PMH:  дробь: чис­ли­тель: MH, зна­ме­на­тель: PM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби , так как это от­но­ше­ние и есть ко­си­нус дву­гран­но­го угла при ребре ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Пусть MH  =  12x, а PM  =  13x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тру­голь­ни­ке PMH имеем:  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 169x в квад­ра­те минус 144x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =5. От­ку­да по­лу­ча­ем, что x  =  1, то есть MH  =  12, а PM  =  13. От­ре­зок MH в три раза мень­ше от­рез­ка AM, зна­чит, что AM  =  36. Так как вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка счи­та­ет­ся по фор­му­ле h= дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то сто­ро­на этого тре­уголь­ни­ка равна 24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , тогда его пло­щадь равна 432 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Найдём пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти:

S=S_бок плюс S_осн= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби P_\mathrmосн умно­жить на h плюс S_осн=432 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 468 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =900 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 900 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Классификатор алгебры: 3.2. Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, 4.1. Пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ков
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра