Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дву­гран­ный угол при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 120°. Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 3. Най­ди­те объем ко­ну­са, опи­сан­но­го около этой пи­ра­ми­ды.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник, при­мем его сто­ро­ну за a. По усло­вию дву­гран­ный угол при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 120°, зна­чит, \angle AKB =120 гра­ду­сов. Тре­уголь­ник AKB  — рав­но­бед­рен­ный (AK  =  BK), тогда \angle KAB = \angle ABK = 30 гра­ду­сов. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

 дробь: чис­ли­тель: KB, зна­ме­на­тель: синус 30 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BA, зна­ме­на­тель: синус 120 гра­ду­сов конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: KB, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби рав­но­силь­но KB = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник BKC. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

 дробь: чис­ли­тель: BK, зна­ме­на­тель: синус \angle BCK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: синус \angle BKC конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , зна­ме­на­тель: синус \angle BCK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби рав­но­силь­но синус \angle BCK = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Тогда:  тан­генс \angle BCK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PMC, в ко­то­ром MC = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и  тан­генс \angle BCK = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , тогда MP = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Так как тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний, то H  — центр тре­уголь­ни­ка, от­ку­да HM = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Из тре­уголь­ни­ка MHP по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра PH = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби . По усло­вию вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 3, тогда:

 дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби =3 рав­но­силь­но a=6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Вы­со­та ко­ну­са, опи­сан­но­го около пи­ра­ми­ды, равна вы­со­те, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су опи­сан­но­го около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са, V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи R в квад­ра­те h, где R=6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та и h  =  3:

V = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи умно­жить на 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те умно­жить на 3 = 72 Пи .

Ответ: 72π.

Классификатор алгебры: 3.2. Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, 3.17. Конус, 3.24. Ком­би­на­ции мно­го­гран­ни­ков и круг­лых тел, 4.4. Объёмы круг­лых тел
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра, Тео­ре­ма си­ну­сов