Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Дан конус, радиус основания которого равен высоте. Найдите двугранный угол при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус.
Решение.
Пусть радиус основания конуса равен 
тогда 
и 
так как основание пирамиды — вписанный в окружность квадрат. В прямоугольном треугольнике 
по теореме Пифагора:
Заметим, что 
то есть, грани пирамиды — правильные треугольники. Пусть точка M — середина ребра PD, откуда 
и 
равен углу между боковыми гранями пирамиды. По теореме косинусов в треугольнике AMC:
откуда 
Ответ:
Классификатор алгебры: 1.6. Угол между плоскостями, 3.3. Правильная четырёхугольная пирамида, 3.17. Конус, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел
Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема косинусов