Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 50
i

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са имеет угол при вер­ши­не, рав­ный 120°. Объем ко­ну­са  — 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 Пи конец ар­гу­мен­та см3. Най­ди­те пло­щадь сферы, опи­сан­ной во­круг ко­ну­са.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник SAB и опи­сан­ную во­круг него окруж­ность (боль­шая окруж­ность дан­ной сферы). По усло­вию \angle ASB=120 гра­ду­сов, тогда \angle SAB=\angle SBA= дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов минус 120 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =30 гра­ду­сов.

Тре­уголь­ник SOB пря­мо­уголь­ный, тогда имеем: SO=h=OB умно­жить на тан­генс 30 гра­ду­сов= дробь: чис­ли­тель: OB ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби см в квад­ра­те .

Най­дем объем ко­ну­са по фор­му­ле V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_осн. умно­жить на h:

V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи R в квад­ра­те умно­жить на h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на Пи OB в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: OB ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: OB в кубе умно­жить на Пи умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби см в кубе .

По усло­вию V=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 Пи конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: OB в кубе умно­жить на Пи умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , тогда OB  =  3 см, AB  =  2OB  =  6 см.

По след­ствию из тео­ре­мы си­ну­сов дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: синус ASB конец дроби =2R, тогда R= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 2 синус 120 гра­ду­сов конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та см.

По фор­му­ле пло­ща­ди опи­сан­ной сферы по­лу­чим: S=4 Пи R в квад­ра­те =4 Пи умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =48 Пи см в квад­ра­те .

 

Ответ: 48 Пи см в квад­ра­те .

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 3.19. Шар, 3.23. Ком­би­на­ции круг­лых тел, 4.3. Пло­щадь по­верх­но­сти круг­лых тел
Методы алгебры: Тео­ре­ма си­ну­сов
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024