В правильной треугольной пирамиде угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 45 В пирамиду вписан цилиндр, нижнее основание которого лежит на основании пирамиды, а окружность его верхнего основания касается боковых граней пирамиды. Найдите отношение объемов пирамиды и цилиндра, если осевое сечение цилиндра является квадратом.
Проведем высоту DO и апофему DM, тогда по условию Заметим, что OO1 — ось цилиндра, а M1 — точка касания верхнего основания цилиндра и апофемы. Получаем, что треугольник DOM равнобедренный. По условию OO1 = 2M1O1. Пусть AB = a, тогда:
Воспользуемся формулой объема пирамиды:
Примем M1O1 за x, тогда OO1 = 2x. Зная, что получаем, что DO1 = x, а DO = 3x. Тогда имеем:
Высота цилиндра и радиус основания равны соответственно и
Воспользуемся формулой объема цилиндра:
Тогда искомое отношение:
Ответ: