Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де угол между бо­ко­вой гра­нью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен 45 гра­ду­сов. В пи­ра­ми­ду впи­сан ци­линдр, ниж­нее ос­но­ва­ние ко­то­ро­го лежит на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, а окруж­ность его верх­не­го ос­но­ва­ния ка­са­ет­ся бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов пи­ра­ми­ды и ци­лин­дра, если осе­вое се­че­ние ци­лин­дра яв­ля­ет­ся квад­ра­том.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем вы­со­ту DO и апо­фе­му DM, тогда по усло­вию \angle DMO=45 гра­ду­сов. За­ме­тим, что OO1  — ось ци­лин­дра, а M1  — точка ка­са­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра и апо­фе­мы. По­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник DOM рав­но­бед­рен­ный. По усло­вию OO1 = 2M1O1. Пусть AB = a, тогда:

DO= MO = r = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пи­ра­ми­ды:

V_пир= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a в кубе , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

При­мем M1O1 за x, тогда OO1 = 2x. Зная, что \angle DM_1O_1=\angle DMO=45 гра­ду­сов, по­лу­ча­ем, что DO1 = x, а DO = 3x. Тогда имеем:

3x= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Вы­со­та ци­лин­дра и ра­ди­ус ос­но­ва­ния равны со­от­вет­ствен­но  дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ци­лин­дра:

V_цил= Пи умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи a в кубе ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 972 конец дроби

Тогда ис­ко­мое от­но­ше­ние:

 дробь: чис­ли­тель: V_пир, зна­ме­на­тель: V_цил конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: a в кубе , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: Пи a в кубе ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 972 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 81, зна­ме­на­тель: 2 Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 27 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 Пи конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 27 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 Пи конец дроби .

Классификатор алгебры: 3.2. Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, 3.16. Ци­линдр, 3.24. Ком­би­на­ции мно­го­гран­ни­ков и круг­лых тел, 4.2. Объем мно­го­гран­ни­ка, 4.4. Объёмы круг­лых тел