В конус вписана прямая шестиугольная призма так, что нижнее ее основание лежит на основании конуса, а вершины верхнего основания лежат на боковой поверхности конуса. Все ребра призмы равны. Найдите отношение полных поверхностей конуса и призмы, если осевое сечение конуса является правильным треугольником.
Проведем плоскость через ось конуса и большую диагональ основания шестиугольной призмы. Получаем равносторонний треугольник ABC и вписанный в него прямоугольник NN1M1M, который является диагональю сечения шестиугольной призмы. Заметим, что OC = R (радиус основания конуса).
Пусть ребро призмы равно a, тогда получаем, что ON = a, MN = M1N1 = BN1 = 2a. Из прямоугольного треугольника CNN1, где 
получаем, что:
Отсюда 
Образующая конуса равна:
Воспользуемся формулой площади полной поверхности конуса:
Зная, что площадь боковой поверхности призмы равна 6a2, найдем площадь полной поверхности призмы:
Тогда искомое отношение:
Ответ: 