Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 580
i

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 4 см, пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 4 см2. Най­ди­те, во сколь­ко раз пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са мень­ше пло­ща­ди его бо­ко­вой по­верх­но­сти, если угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния тупой.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке (см. рис). Вы­ра­зим пло­щадь S осе­во­го се­че­ния APB:

S = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AP умно­жить на PB умно­жить на синус \angle APB = 8 синус \angle APB

По­сколь­ку S  =  4 см2,  синус APB = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то есть угол APB равен 150°, ис­хо­дя из того что по усло­вию он тупой. Пло­щадь Sосн ос­но­ва­ния ко­ну­са равна  Пи умно­жить на OB в квад­ра­те , а пло­щадь Sбок бо­ко­вой по­верх­но­сти  —  Пи умно­жить на OB умно­жить на PB. Две эти ве­ли­чи­ны имеют сле­ду­ю­щее от­но­ше­ние:

 дробь: чис­ли­тель: S_осн, зна­ме­на­тель: S_бок конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи умно­жить на OB в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: Пи умно­жить на OB умно­жить на PB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: OB, зна­ме­на­тель: PB конец дроби .

Так как PO  — вы­со­та, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка POB имеем:

 дробь: чис­ли­тель: OB, зна­ме­на­тель: PB конец дроби = ко­си­нус \angle PBO = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 180 минус \angle APB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус дробь: чис­ли­тель: \angle APB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = синус 75 гра­ду­сов.

Вы­чис­лим  синус 75 гра­ду­сов:

 синус 75 гра­ду­сов = синус левая круг­лая скоб­ка 45 гра­ду­сов плюс 30 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 6 плюс ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: в  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 6 плюс ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби раза.

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 4.3. Пло­щадь по­верх­но­сти круг­лых тел
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние три­го­но­мет­рии