Образовательный портал «РЕШУ ЦТ» — математика–11

Задания

Задание № 60 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 3.19. Шар, 3.23. Комбинации круглых тел, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Задания на 10 баллов

Осевое сечение конуса имеет прямой угол при вершине. Площадь боковой поверхности конуса  — $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента Пи$ см². Найдите площадь сферы, вписанной в конус.

Решение. Проведем осевое сечение конуса, получим равнобедренный треугольник SAB и описанную вокруг него окружность (большая окружность данной сферы). Пусть образующая конуса L  =  PB. Тогда радиус основания конуса $OB=R= дробь: числитель: PB, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби см.$ По формуле площади боковой поверхности $S_бок.=L Пи R=PB умножить на дробь: числитель: PB, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: PB в квадрате Пи , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби см в квадрате .$

По условию $дробь: числитель: PB в квадрате Пи , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента Пи ,$ значит, $PB= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см;$ $OB= дробь: числитель: PB, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби =1см;$ AB  =  2OB  =  2 см.

Найдем радиус вписанной окружности:

$r= дробь: числитель: a плюс b минус c, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: AP плюс PB минус AB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 2, знаменатель: 2 конец дроби = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1см.$

По формуле площади вписанной сферы получим: $S=4 Пи R в квадрате =4 Пи умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 4 Пи левая круглая скобка 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка см в квадрате .$

Ответ: $4 Пи левая круглая скобка 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка см в квадрате .$

$4 Пи левая круглая скобка 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка см в квадрате .$

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 3.19. Шар, 3.23. Комбинации круглых тел, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	60	$4 Пи левая круглая скобка 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка см в квадрате .$