Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Конус впи­сан в пи­ра­ми­ду, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 2 и 8 см. Объем ко­ну­са равен  дробь: чис­ли­тель: 8 Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби см3. Най­ди­те угол на­кло­на бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды к плос­ко­сти ос­но­ва­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Тра­пе­ция ABCD рав­но­бед­рен­ная, в ко­то­рой BC = 2 см, AD = 8 см. Так как тра­пе­ция опи­са­на около окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, то AB + CD = BC + AD, но AB = CD, тогда

AB = CD = дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 8, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 5 см.

Найдём пло­щадь тра­пе­ции ABCD и ра­ди­ус впи­сан­ной в неё окруж­но­сти. Так как HM = BC и AH = MD, то

AH = MD = дробь: чис­ли­тель: 8 минус 2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 3 см.

Из тре­уголь­ни­ка ABH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим = 4 см. Тогда пло­щадь тра­пе­ции

S_ABCD = дробь: чис­ли­тель: AD плюс BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на BH = дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 8, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 = 20 см2.

По фор­му­ле S = p · r найдём ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са

r = дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: p конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби = 2 см.

По фор­му­ле объёма ко­ну­са V = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_осн h найдём вы­со­ту:

h = дробь: чис­ли­тель: 3 V, зна­ме­на­тель: S_осн конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8 Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: 4 Пи конец дроби = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та см.

Точка K  — точка ка­са­ния окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию ABCD, с бо­ко­вой сто­ро­ны тра­пе­ции. Тогда угол PKO яв­ля­ет­ся углом на­кло­на бо­ко­вой грани ABP к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Тре­уголь­ник POK пря­мо­уголь­ный, тогда

 тан­генс \angle PKO = дробь: чис­ли­тель: PO, зна­ме­на­тель: OK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ;\angle PKO = 60 гра­ду­сов.

Так как все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к её ос­но­ва­нию, то угол на­кло­на бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды к плос­ко­сти ос­но­ва­ния равен 60°.

Ответ: 60°.

Классификатор алгебры: 1.6. Угол между плос­ко­стя­ми, 3.6. Не­пра­виль­ные пи­ра­ми­ды, 3.17. Конус, 3.24. Ком­би­на­ции мно­го­гран­ни­ков и круг­лых тел