Образовательный портал «РЕШУ ЦТ» — математика–11

Задания

Задание № 630 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1.6. Угол между плоскостями, 3.6. Неправильные пирамиды, 3.17. Конус, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел

Конус описан около пирамиды PABCD, основанием которой является трапеция ABCD. Известно, что AB=BC=CD=3 см и один из углов трапеции равен 60°. Объем конуса равен $9 Пи$ см³. Найдите угол наклона боковых ребер пирамиды к плоскости основания.

Решение.

Рассмотрим трапецию ABCD, вписанную в основание конуса. Так как AB = BC, то по свойству равнобедренного треугольника угол BAC равен углу BCA. Поскольку BC || AD, то угол DAC равен углу BCA, то есть угол BAC равен углу CAD, а угол BAD равен 60°, тогда угол CAD = 60° : 2 = 30°.

В треугольнике CAD угол ACD = 180° − (60° + 30°) = 90°, то есть треугольник CAD прямоугольный, его гипотенуза AD является диаметром окружности основания конуса.

Так как угол CAD = 30° и CD = 3 см, то AD = 2 · CD = 6 см, то есть радиус основания конуса равен 3 см.

По формуле объёма конуса $V = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_осн h$ найдём высоту:

$h = дробь: числитель: 3 V, знаменатель: S_осн конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 9 Пи , знаменатель: 9 Пи конец дроби = 3$ см.

Треугольник POA прямоугольный, тогда

$тангенс \angle POA = дробь: числитель: PO, знаменатель: OA конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 3 конец дроби = 1;\angle PAO = 45 градусов.$

Так как все боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к её основанию, то угол наклона боковых рёбер пирамиды к плоскости основания равен 45°.

Ответ: 45°.

630

45°.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	630	45°.