Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 636
i

Ос­но­ва­ние пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да  — ромб, пло­ща­ди диа­го­наль­ных се­че­ний па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны 4 и 3. Най­ди­те пол­ную по­верх­ность па­рал­ле­ле­пи­пе­да, если диа­го­на­ли мень­ше­го диа­го­наль­но­го се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть BB1D1D  — мень­шее диа­го­наль­ное се­че­ние, тогда, так как диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а ис­ход­ный па­рал­ле­ле­пи­пед пря­мой, BB1D1D  — квад­рат. Сле­до­ва­тель­но, бо­ко­вые рёбра па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны корню из 3. За­ме­тим, что пло­щадь боль­ше­го из се­че­ний равна про­из­ве­де­нию боль­шей диа­го­на­ли ос­но­ва­ния на бо­ко­вое ребро, от­ку­да AC= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . В ос­но­ва­нии па­рал­ле­ло­грам­ма лежит ромб, тогда диа­го­на­ли ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­ны. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра CO в квад­ра­те плюс OD в квад­ра­те =CD в квад­ра­те , то есть

CD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 75, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна сумме двух пло­ща­дей ос­но­ва­ния и четырёх пло­ща­дей бо­ко­вых гра­ней, в нашем слу­чае:

S=2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =4 плюс 10=14.

Ответ: 14.

Классификатор алгебры: 3.13. Про­чие пря­мые приз­мы, 4.1. Пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ков
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра