Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 656
i

Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти усе­чен­но­го ко­ну­са, если пло­ща­ди его ос­но­ва­ний  — 25 Пи и 64 Пи см2, а пло­щадь осе­во­го се­че­ния  — 52 см2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний ко­ну­са. Так как S_осн = Пи r в квад­ра­те , 25 Пи = Пи r в квад­ра­те рав­но­силь­но r = 5, 64 Пи = Пи R в квад­ра­те рав­но­силь­но R = 8. Осе­вое се­че­ние усе­чен­но­го ко­ну­са  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция AA1B1B, в ко­то­рой A1B1 = 2r = 10, AB = 2R = 16. Зная пло­щадь тра­пе­ции, най­дем ее вы­со­ту:

A_1H = дробь: чис­ли­тель: 2S_AA_1B_1B, зна­ме­на­тель: A_1B_1 плюс AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 52, зна­ме­на­тель: 10 плюс 16 конец дроби = 4.

Так как тра­пе­ция яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, AH = дробь: чис­ли­тель: AB минус A_1B_1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 3.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке A1AH:

A_1A = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: A_1H в квад­ра­те плюс AH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 5.

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са:

S_бок = Пи левая круг­лая скоб­ка r плюс R пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на l = Пи умно­жить на 13 умно­жить на 5 = 65 Пи .

Най­дем пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти:

S_полн = 65 Пи плюс 64 Пи плюс 25 Пи = 154 Пи .

Ответ:154 Пи .

Классификатор алгебры: 3.18. Усечённый конус, 4.3. Пло­щадь по­верх­но­сти круг­лых тел
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра