Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 9 № 659

Решите неравенство \log в степени 2 _5(2x плюс 3) плюс 2\log в степени 2 _{5}x\le3 логарифм по основанию 5 (2x плюс 3) умножить на логарифм по основанию 5 x.

Спрятать решение

Решение.

Пусть a =  логарифм по основанию 5 {(2x плюс 3)},, b =  логарифм по основанию 5 {x}. Имеем:

a в степени 2 плюс 2b в степени 2 меньше или равно 3ab равносильно a в степени 2 минус 3ab плюс 2b в степени 2 меньше или равно 0 равносильно (a минус b)(a минус 2b) меньше или равно 0.

Таким образом, возвращаясь к исходной переменной, получаем неравенство

( логарифм по основанию 5 {(2x плюс 3)} минус логарифм по основанию 5 {x}})( логарифм по основанию 5 {(2x плюс 3) минус 2 логарифм по основанию 5 {x}}) меньше или равно 0. Выражения  логарифм по основанию 5 {(2x плюс 3)} и  логарифм по основанию 5 {x} определены при положительных x. Найдем корни уравнения ( логарифм по основанию 5 {(2x плюс 3)} минус логарифм по основанию 5 {x}})( логарифм по основанию 5 {(2x плюс 3) минус 2 логарифм по основанию 5 {x}}) = 0 и применим метод интервалов:

 система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 5 {(2x плюс 3)} = логарифм по основанию 5 {x}, логарифм по основанию 5 {(2x плюс 3)} = логарифм по основанию 5 {x в степени 2 }, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений 2x плюс 3 = x,2x плюс 3 = x в степени 2 , конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x = минус 3,x = 3,x = минус 1, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно x = 3.

Получаем, что x принадлежит [3; плюс принадлежит fty).

Ответ:[3; плюс принадлежит fty).

Классификатор алгебры: 3.3 Логарифмические неравенства