Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те объем шара, впи­сан­но­го в тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду, все ребра ко­то­рой равны дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби см.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть шар с цен­тром в точке О впи­сан в тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду. Тогда от­ре­зок МО  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка PMH. Точка H  — центр тре­уголь­ни­ка ABC, тогда

HM = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AM = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AB ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , HM = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на ко­рень из 3 = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Апо­фе­ма PM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка PBC, по­это­му

PM = дробь: чис­ли­тель: BC ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке PMH:

PH = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 1.

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой о бис­сек­три­се угла в тре­уголь­ни­ке HPM:

дробь: чис­ли­тель: HO, зна­ме­на­тель: HM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: PO, зна­ме­на­тель: PM конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 }4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус R, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец дроби ; R = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Най­дем объем шара:

V = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи R в кубе = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 48 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 48 конец дроби .

Классификатор алгебры: 3.6. Не­пра­виль­ные пи­ра­ми­ды, 3.19. Шар, 3.24. Ком­би­на­ции мно­го­гран­ни­ков и круг­лых тел, 4.4. Объёмы круг­лых тел
Методы алгебры: Свой­ства бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024