Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду, все ребра ко­то­рой равны между собой, впи­сан шар, ра­ди­ус ко­то­ро­го равен  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та см. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть шар с цен­тром в точке О впи­сан в тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду. Тогда от­ре­зок МО  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка PMH. Точка H  — центр тре­уголь­ни­ка ABC, тогда HM = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AM = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , где a  — ребро пи­ра­ми­ды. Апо­фе­ма PM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка PBC, зна­чит, PM = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке PMH:

PH = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой о бис­сек­три­се угла в тре­уголь­ни­ке PHM:

 дробь: чис­ли­тель: HO, зна­ме­на­тель: HM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: PO, зна­ме­на­тель: PM конец дроби ;  дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из 3 }6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: a конец дроби ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус R, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби ; a = 2 ко­рень из 6 R.

Так как R = ко­рень из 3 , a = 6 ко­рень из 2 .

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

V = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_оснh = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те ко­рень из 3 }4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка конец дроби 6 ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе умно­жить на ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = 72.

Ответ:72.

Классификатор алгебры: 3.6. Не­пра­виль­ные пи­ра­ми­ды, 3.19. Шар, 3.24. Ком­би­на­ции мно­го­гран­ни­ков и круг­лых тел, 4.2. Объем мно­го­гран­ни­ка
Методы алгебры: Свой­ства бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра