Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В шар ра­ди­у­сом R по­ме­щен конус так, что его вер­ши­на сов­па­да­ет с цен­тром шара, а ос­но­ва­ние ка­са­ет­ся по­верх­но­сти шара. От­но­ше­ние бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са к по­верх­но­сти шара равно 1 : 8. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра шара до ос­но­ва­ния ко­ну­са.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Осе­вое се­че­ние за­дан­но­го ко­ну­са  — это рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник AOB, впи­сан­ный в по­лу­окруж­ность с цен­тром O и ра­ди­у­сом R. Так как вы­со­та ко­ну­са OO1 по усло­вию пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию шара, то ее длина и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са O1B  =  r, об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са OB  =  L  =  R.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са по фор­му­ле равна S_кон.= Пи rL= Пи rR, а пло­щадь по­верх­но­сти шара по­лу­ча­ем по фор­му­ле S_шара=4 Пи R в квад­ра­те .

По усло­вию дробь: чис­ли­тель: S_кон., зна­ме­на­тель: S_шара конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , от­сю­да r= дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OO1B имеем \angle O_1OB=30 гра­ду­сов по свой­ству пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков. Тогда \angle AOB=2\angle O_1OB=60 гра­ду­сов, а зна­чит, тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний. Най­дем вы­со­ту OO1 по фор­му­ле вы­со­ты для пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков OO_1= дробь: чис­ли­тель: OB ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: R ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: R ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Классификатор алгебры: 2.5. Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти, 3.17. Конус, 3.19. Шар, 3.23. Ком­би­на­ции круг­лых тел
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024