Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

К гра­фи­ку функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x в квад­ра­те минус x плюс 1 про­ве­де­ны ка­са­тель­ные, па­рал­лель­ные пря­мой y=2x минус 1. Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точек ка­са­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Возьмём про­из­вод­ные от обеих функ­ций:

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 2x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те минус 2x минус 1,

 

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 умно­жить на 1 умно­жить на x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. Решим квад­рат­ное урав­не­ние, чтобы найти абс­цис­сы точек ка­са­ния:

x в квад­ра­те минус 2x минус 1=2 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x минус 3=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус 1,x=3. конец со­во­куп­но­сти .

Под­ста­вим по­лу­чен­ные зна­че­ния в урав­не­ние функ­ции, чтобы найти ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния

y= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 1 плюс 1 плюс 1= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

 

y= дробь: чис­ли­тель: 3 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 3 в квад­ра­те минус 3 плюс 1=9 минус 9 минус 3 плюс 1= минус 2.

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 3; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Классификатор алгебры: 14.4. Точки на гра­фи­ках, пе­ре­се­че­ние, вза­им­ное рас­по­ло­же­ние гра­фи­ков, 15.5. Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции, 15.8. При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ис­сле­до­ва­нию функ­ции