Образовательный портал «РЕШУ ЦТ» — математика–11

Задания

Задание № 707 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 14.4. Точки на графиках, пересечение, взаимное расположение графиков, 15.5. Касательная к графику функции, 15.8. Применение производной к исследованию функции

Задания на 7 баллов

К графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс x$ проведены касательные, параллельные прямой $y= минус x плюс 5.$ Найдите координаты точек касания.

Решение. Возьмём производные от обеих функций:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 умножить на дробь: числитель: x в степени левая круглая скобка 3 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в степени левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка плюс 1x в степени левая круглая скобка 1 минус 1 правая круглая скобка =x в квадрате минус 3x плюс 1,$

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус x в степени левая круглая скобка 1 минус 1 правая круглая скобка = минус 1.$

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Решим квадратное уравнение, чтобы найти абсциссы точек касания:

$x в квадрате минус 3x плюс 1= минус 1 равносильно x в квадрате минус 3x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений x=1,x=2. конец совокупности .$

Подставим полученные значения в уравнение функции, чтобы найти ординаты точек пересечения

$y= дробь: числитель: 1 в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 1 в квадрате плюс 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс 1= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,$

$y= дробь: числитель: 2 в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 в квадрате плюс 2= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус 6 плюс 2= минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

707

$левая круглая скобка 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	707	$левая круглая скобка 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$