РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 807 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.9. Прочие логарифмические уравнения

Задания на 10 баллов

Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента минус x правая круглая скобка .$

Решение. Заметим сразу, что

$левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента минус x правая круглая скобка = левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка минус x в квадрате =1.$

Пусть $t = корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x,$ тогда:

$логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 логарифм по основанию 5 t= логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 логарифм по основанию 5 t= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 логарифм по основанию 5 t= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 5 t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно минус логарифм по основанию 3 логарифм по основанию 5 t= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 5 t правая круглая скобка равносильно 2 логарифм по основанию 3 логарифм по основанию 5 t=0 равносильно логарифм по основанию 3 логарифм по основанию 5 t=0 равносильно логарифм по основанию 5 t=1 равносильно t=5$

Вернёмся к исходной переменной:

$корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x=5 равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента =5 минус x равносильно x в квадрате плюс 1=25 минус 10x плюс x в квадрате равносильно 10x=24 равносильно x=2,4$

Ясно, что такой x не является посторонним корнем для уравнения $корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x=5,$ а $t=5$ не был посторонним для изначального уравнения.

Ответ: $левая фигурная скобка 2,4 правая фигурная скобка .$

807

$левая фигурная скобка 2,4 правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 5.9. Прочие логарифмические уравнения

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	807	$левая фигурная скобка 2,4 правая фигурная скобка .$