РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 995 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.21. Разные задачи о телах вращения, 4.4. Объёмы круглых тел

Задания на 8 баллов

Равнобедренный треугольник ABC вращается вокруг оси, проходящей через вершину C и перпендикулярной основанию AC. Найдите объем тела вращения, учитывая, что $AB=BC=17 см,$ $AC=16 см.$

Решение. Обозначим за H проекцию вершины B на ось вращения, а за M  — середину AC. Тогда BMCH  — прямоугольник (углы при вершинах C и H прямые по условию, а при M потому что высота совпадает с медианой). Значит,

$BH=MC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC=8,$ $CH=BM= корень из: начало аргумента: BC в квадрате минус CM в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 289 минус 64 конец аргумента =15.$

Указанное в задаче тело представляет собой усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции ABHC, из которого удален конус, полученный вращением треугольника BHC вокруг той же оси. Значит, объем этого тела равен разности объемов усеченного конуса и просто конуса. Найдем их.

Усеченный конус имеет радиусы оснований $BH=16$ и $AC=8$ и высоту, равную 15, поэтому его объем равен:

$V_у.к.= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на 15 левая круглая скобка 8 в квадрате плюс 8 умножить на 16 плюс 16 в квадрате правая круглая скобка =5 Пи левая круглая скобка 64 плюс 128 плюс 256 правая круглая скобка =2240 Пи .$

Объем конуса равен:

$V_к = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на 15 умножить на 8 в квадрате =320 Пи .$

Окончательно, $V_т.в. = 2240 Пи минус 320 Пи =1920 Пи .$

Ответ: $1920 Пи .$

995

$1920 Пи .$

Классификатор алгебры: 3.21. Разные задачи о телах вращения, 4.4. Объёмы круглых тел

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	995	$1920 Пи .$