Пусть исходная пирамида изображена на рисунке (см. рис) таким образом, что , , , , , ADC — основание пирамиды. По теореме Пифагора в треугольнике ADC гипотенуза AC равна

Центр O₁ описанной окружности треугольника ADC является серединой его гипотенузы, он равноудалён от точек A, D и C. Центр O описанной вокруг пирамиды сферы также равноудалён от этих точек и от точки B, поэтому лежит на прямой, перпендикулярной AC. Поскольку центр O равноудалён от точек B и D, он лежит на MO — высоте к стороне BD треугольника DBO. Значит, радиус описанной сферы равен отрезку DO. Так как MOO₁D — прямоугольник (углы MDO и MDO₁), то:

По теореме Пифагора в треугольнике DOO₁:

Ответ:

Пусть исходная пирамида изображена на рисунке (см. рис) таким образом, что , , , , , ADC — основание пирамиды. По теореме Пифагора в треугольнике ADC гипотенуза AC равна

Центр O₁ описанной окружности треугольника ADC является серединой его гипотенузы, он равноудалён от точек A, D и C. Центр O описанной вокруг пирамиды сферы также равноудалён от этих точек и от точки B, поэтому лежит на прямой, перпендикулярной AC. Поскольку центр O равноудалён от точек B и D, он лежит на MO — высоте к стороне BD треугольника DBO. Значит, радиус описанной сферы равен отрезку DO. Так как MOO₁D — прямоугольник (углы MDO и MDO₁), то:

По теореме Пифагора в треугольнике DOO₁:

Ответ:

Шар с центром в точке O вписан в пирамиду PABC. PM — апофема пирамиды, AM — высота правильного треугольника ABC. Тогда MO — биссектриса угла PMH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник PHM. Пусть HM = a, тогда PM = 2a, так как угол HPM равен 30°. Тогда

По теореме о биссектрисе треугольника , значит, PO = 2 см, тогда PH = 3 см. Отсюда см, а см.

Точка H — центр правильного треугольника ABC, тогда см и см.

Найдём площадь боковой поверхности:

см².

Ответ: см².

Шар с центром в точке O вписан в пирамиду PABC. PM — апофема пирамиды, AM — высота правильного треугольника ABC. Тогда MO — биссектриса угла PMH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник PHM. см и PO = 2HO.

По теореме о биссектрисе треугольника , отсюда см.

Точка H — центр правильного треугольника ABC, тогда см и см.

Найдём площадь боковой поверхности:

см².

Ответ: см².

Проведем осевое сечение конуса, получим равнобедренный треугольник SAB и описанную вокруг него окружность (большая окружность данной сферы). По условию тогда

Треугольник SOB прямоугольный, тогда имеем:

Найдем объем конуса по формуле

По условию тогда OB = 3 см, AB = 2OB = 6 см.

По следствию из теоремы синусов , тогда

По формуле площади описанной сферы получим:

Ответ: