Пусть ис­ход­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис) таким об­ра­зом, что ADC  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ADC ги­по­те­ну­за AC равна

Центр O₁ опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ADC яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной его ги­по­те­ну­зы, он рав­но­удалён от точек A, D и C. Центр O опи­сан­ной во­круг пи­ра­ми­ды сферы также рав­но­удалён от этих точек и от точки B, по­это­му лежит на пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ной AC. По­сколь­ку центр O рав­но­удалён от точек B и D, он лежит на MO  — вы­со­те к сто­ро­не BD тре­уголь­ни­ка DBO. Зна­чит, ра­ди­ус опи­сан­ной сферы равен от­рез­ку DO. Так как MOO₁D  — пря­мо­уголь­ник (углы MDO и MDO₁), то:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOO₁:

Ответ:

Пусть ис­ход­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис) таким об­ра­зом, что ADC  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ADC ги­по­те­ну­за AC равна

Центр O₁ опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ADC яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной его ги­по­те­ну­зы, он рав­но­удалён от точек A, D и C. Центр O опи­сан­ной во­круг пи­ра­ми­ды сферы также рав­но­удалён от этих точек и от точки B, по­это­му лежит на пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ной AC. По­сколь­ку центр O рав­но­удалён от точек B и D, он лежит на MO  — вы­со­те к сто­ро­не BD тре­уголь­ни­ка DBO. Зна­чит, ра­ди­ус опи­сан­ной сферы равен от­рез­ку DO. Так как MOO₁D  — пря­мо­уголь­ник (углы MDO и MDO₁), то:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOO₁:

Ответ:

Шар с цен­тром в точке O впи­сан в пи­ра­ми­ду PABC. PM  — апо­фе­ма пи­ра­ми­ды, AM  — вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда MO  — бис­сек­три­са угла PMH.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PHM. Пусть HM = a, тогда PM = 2a, так как угол HPM равен 30°. Тогда

По тео­ре­ме о бис­сек­три­се тре­уголь­ни­ка зна­чит, PO = 2 см, тогда PH = 3 см. От­сю­да см, а см.

Точка H  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, тогда см и см.

Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Ответ: см².

Шар с цен­тром в точке O впи­сан в пи­ра­ми­ду PABC. PM  — апо­фе­ма пи­ра­ми­ды, AM  — вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда MO  — бис­сек­три­са угла PMH.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PHM. см и PO = 2HO.

По тео­ре­ме о бис­сек­три­се тре­уголь­ни­ка от­сю­да см.

Точка H  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, тогда см и см.

Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Ответ: см².

Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник SAB и опи­сан­ную во­круг него окруж­ность (боль­шая окруж­ность дан­ной сферы). По усло­вию тогда

Тре­уголь­ник SOB пря­мо­уголь­ный, тогда имеем:

Най­дем объем ко­ну­са по фор­му­ле

По усло­вию тогда OB  =  3 см, AB  =  2OB  =  6 см.

По след­ствию из тео­ре­мы си­ну­сов тогда

По фор­му­ле пло­ща­ди опи­сан­ной сферы по­лу­чим:

Ответ: