Бо­ко­вые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и равны 2, 2 и 4. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около этой пи­ра­ми­ды сферы.

Бо­ко­вые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и равны 6, 4 и 4. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около этой пи­ра­ми­ды сферы.

Угол между вы­со­той пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды и бо­ко­вой гра­нью равен 30°. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если ра­ди­ус впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду шара равен 1 см.

Апо­фе­ма пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды см. Центр впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду шара от­сто­ит от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды на рас­сто­я­нии, вдвое боль­ше ра­ди­у­са шара. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са имеет угол при вер­ши­не, рав­ный 120°. Объем ко­ну­са  — см³. Най­ди­те пло­щадь сферы, опи­сан­ной во­круг ко­ну­са.

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са имеет пря­мой угол при вер­ши­не. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са  — см². Най­ди­те пло­щадь сферы, впи­сан­ной в конус.

Плос­кость пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ния ци­лин­дра по хор­дам, рав­ным 6 и 8 см, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 9 см. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти ци­лин­дра, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 5 см и плос­кость пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра во внут­рен­ней его точке.

Вер­ши­ны квад­ра­та при­над­ле­жат окруж­но­стям верх­не­го и ниж­не­го ос­но­ва­ний ци­лин­дра. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти ци­лин­дра, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 7 см, сто­ро­на квад­ра­та  — 10 см и плос­кость квад­ра­та пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра.

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан куб так, что че­ты­ре вер­ши­ны куба лежат на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, а про­ти­во­по­лож­ные им вер­ши­ны при­над­ле­жат бо­ко­вым реб­рам пи­ра­ми­ды. Най­ди­те ребро куба, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна см, а сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна см.

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан куб так, что че­ты­ре вер­ши­ны куба лежат на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, а про­ти­во­по­лож­ные им вер­ши­ны при­над­ле­жат бо­ко­вым реб­рам пи­ра­ми­ды. Най­ди­те ребро куба, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна см, а сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна см.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30°. Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са равна 75 см². Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти сферы, опи­сан­ной около этого ко­ну­са.

Ре­ши­те урав­не­ние

Бо­ко­вые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и равны 4, 5 и 6 см. Через точку, взя­тую на вы­со­те пи­ра­ми­ды и де­ля­щую вы­со­ту в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Най­ди­те объем боль­шей из об­ра­зо­вав­ших­ся ча­стей пи­ра­ми­ды.

Бо­ко­вые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и равны 8, 5 и 6 см. Через точку, взя­тую на вы­со­те пи­ра­ми­ды и де­ля­щую вы­со­ту в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Най­ди­те объем боль­шей из об­ра­зо­вав­ших­ся ча­стей пи­ра­ми­ды.

Ос­но­ва­ние пря­мой приз­мы  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем a и углом при ос­но­ва­нии Диа­го­наль бо­ко­вой грани, со­дер­жа­щей бо­ко­вую сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка, на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, впи­сан­но­го в приз­му.

Ос­но­ва­ние пря­мой приз­мы  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с бо­ко­вой сто­ро­ной b и углом при ос­но­ва­нии Диа­го­наль бо­ко­вой грани, со­дер­жа­щей ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка, об­ра­зу­ет с бо­ко­вым реб­ром угол Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, впи­сан­но­го в приз­му.

Ос­но­ва­ни­ем ко­ну­са слу­жит круг, впи­сан­ный в ос­но­ва­ние пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы. Вер­ши­на ко­ну­са лежит на дру­гом ос­но­ва­нии приз­мы. Най­ди­те объем приз­мы, если объем ко­ну­са равен см².

Ос­но­ва­ни­ем ко­ну­са слу­жит круг, опи­сан­ный около ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы. Вер­ши­на ко­ну­са лежит на дру­гом ос­но­ва­нии приз­мы. Най­ди­те объем приз­мы, если объем ко­ну­са равен см².

Вы­со­та ко­ну­са равна 3 см, угол между вы­со­той и об­ра­зу­ю­щей равен 30°. В этот конус впи­сан дру­гой конус так, что его вер­ши­на сов­па­да­ет с цен­тром ос­но­ва­ния пер­во­го ко­ну­са, а со­от­вет­ству­ю­щие об­ра­зу­ю­щие вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те объем впи­сан­но­го ко­ну­са.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 6 см, угол между вы­со­той и об­ра­зу­ю­щей равен 60°. В этот конус впи­сан дру­гой конус так, что его вер­ши­на сов­па­да­ет с цен­тром ос­но­ва­ния пер­во­го ко­ну­са, а со­от­вет­ству­ю­щие об­ра­зу­ю­щие вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти впи­сан­но­го ко­ну­са.

Ос­но­ва­ние пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁  — квад­рат ABCD со сто­ро­ной длина ребра AA₁ = Най­ди­те пе­ри­метр се­че­ния, про­ве­ден­но­го через точки C, P и M, где P  — се­ре­ди­на AD, M  — се­ре­ди­на BB₁.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, при­чем ABCD  — квад­рат со сто­ро­ной а ребро AA₁ равно Най­ди­те пе­ри­метр се­че­ния, про­ве­ден­но­го через точки C, K и M, где K и M  — се­ре­ди­ны ребер AD и BB₁ со­от­вет­ствен­но.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де все плос­кие углы при вер­ши­не пря­мые. Бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды сферы.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де все плос­кие углы при вер­ши­не пря­мые. Бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны Най­ди­те объем опи­сан­но­го около пи­ра­ми­ды шара.

В пи­ра­ми­де FABC через ме­ди­а­ну BK ос­но­ва­ния ABC и точке L бо­ко­во­го ребра AF (AL : LF = 1 : 3) про­ве­де­на плос­кость. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма мно­го­гран­ни­ка BCKLF к объ­е­му пи­ра­ми­ды ABLK.

В пи­ра­ми­де FABC через ме­ди­а­ну AH ос­но­ва­ния ABC и точке L бо­ко­во­го ребра BF (BL : LF = 4 : 1) про­ве­де­на плос­кость. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма мно­го­гран­ни­ка ACHLF к объ­е­му пи­ра­ми­ды ABLH.

Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии делит вы­со­ту ко­ну­са плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию, если по­лу­чен­ные мень­ший конус и усе­чен­ный конус имеют рав­ные пло­ща­ди пол­ных по­верх­но­стей, а об­ра­зу­ю­щая и ра­ди­ус ос­но­ва­ния ис­ход­но­го ко­ну­са равны 16 и 10 со­от­вет­ствен­но.

Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии делит вы­со­ту ко­ну­са плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию, если пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти от­се­чен­но­го ко­ну­са равна по­ло­ви­не пло­ща­ди по­верх­но­сти всего ко­ну­са, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния и об­ра­зу­ю­щая ис­ход­но­го ко­ну­са равны 2 и 6 со­от­вет­ствен­но.

Бо­ко­вые грани пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы  — квад­ра­ты. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна 108. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся цен­тры всех гра­ней приз­мы.

Бо­ко­вые грани пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­мы  — квад­ра­ты. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна 100. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся цен­тры всех гра­ней приз­мы.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна диа­мет­ру его ос­но­ва­ния, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна 72 см². Куб впи­сан в конус так, что одна из гра­ней куба при­над­ле­жит ос­но­ва­нию ко­ну­са, а вер­ши­ны про­ти­во­ле­жа­щей грани при­над­ле­жат бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са. Най­ди­те ребро куба, впи­сан­но­го в конус.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са на­кло­не­на к ос­но­ва­нию под углом 60°, пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна см². Куб впи­сан в конус так, что одна из гра­ней куба при­над­ле­жит ос­но­ва­нию ко­ну­са, а вер­ши­ны про­ти­во­ле­жа­щей грани при­над­ле­жит бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са. Най­ди­те ребро куба, впи­сан­но­го в конус.

В пра­виль­ную тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан конус, и около нее опи­сан конус. Най­ди­те раз­ность объ­е­мов опи­сан­но­го и впи­сан­но­го ко­ну­сов, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 4, а длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са равна

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан конус, и около нее опи­сан конус. Най­ди­те раз­ность объ­е­мов опи­сан­но­го и впи­сан­но­го ко­ну­сов, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 8, а длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния впи­сан­но­го ко­ну­са равна

Бо­ко­вые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды имеют оди­на­ко­вую длину и равны 10 см. Из трех плос­ких углов, об­ра­зо­ван­ных этими реб­ра­ми при вер­ши­не пи­ра­ми­ды, два равны а тре­тий  — 60°. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Бо­ко­вые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды имеют оди­на­ко­вую длину и равны 15 см. Из трех плос­ких углов, об­ра­зо­ван­ных этими реб­ра­ми при вер­ши­не пи­ра­ми­ды, два равны а тре­тий  — 90°. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Тело со­сто­ит из двух ко­ну­сов, име­ю­щих общее ос­но­ва­ние и рас­по­ло­жен­ных по раз­ные сто­ро­ны от плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара, впи­сан­но­го в тело, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­сов равен 1, а вы­со­ты  — 1 и 2.

Тело со­сто­ит из двух ко­ну­сов, име­ю­щих общее ос­но­ва­ние и рас­по­ло­жен­ных по раз­ные сто­ро­ны от плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Най­ди­те пло­щадь сферы, впи­сан­ной в тело, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­сов равен 2, а об­ра­зу­ю­щие равны и

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ диа­го­наль AC₁ равна Точки M и H  — се­ре­ди­ны ребер B₁C₁, D₁C₁ со­от­вет­ствен­но, а точка P при­над­ле­жит ребру DD₁, при­чем D₁P : DD ₁ = 1 : 3. Най­ди­те пе­ри­метр се­че­ния куба плос­ко­стью MHP.

Точки M и K яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­но се­ре­ди­на­ми ребер B₁C₁ и A₁B₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка H при­над­ле­жит ребру AA₁, при­чем AH : AA₁ = 2 : 3. Най­ди­те пе­ри­метр се­че­ния куба плос­ко­стью MHK, если диа­го­наль BD₁ равна

Дву­гран­ный угол при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 120°. Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 3. Най­ди­те объем ко­ну­са, опи­сан­но­го около этой пи­ра­ми­ды.

Дву­гран­ный угол при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 120°. Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 5. Най­ди­те объем ко­ну­са, впи­сан­но­го в эту пи­ра­ми­ду.

Дан конус, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го от­но­сит­ся к вы­со­те как Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми бо­ко­вых гра­ней пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, впи­сан­ной в конус.

Дан конус, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен вы­со­те. Най­ди­те дву­гран­ный угол при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, впи­сан­ной в конус.

Во­круг шара опи­сан ци­линдр. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди по­верх­но­сти ци­лин­дра к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара.

Шар впи­сан в ци­линдр. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма шара к объ­е­му ци­лин­дра.

Куб, шар и ци­линдр, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся квад­рат, имеют рав­ные пло­ща­ди пол­ных по­верх­но­стей. Най­ди­те, какая из дан­ных фигур имеет наи­боль­ший объем.

Куб, шар и конус, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся пра­виль­ный тре­уголь­ник, имеют рав­ные пло­ща­ди пол­ных по­верх­но­стей. Най­ди­те, какая из дан­ных фигур имеет наи­мень­ший объем.

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан ци­линдр, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся квад­рат, так, что одно ос­но­ва­ние ци­лин­дра лежит на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, а дру­гое ос­но­ва­ние ци­лин­дра ка­са­ет­ся бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды. Най­ди­те объем ци­лин­дра, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна см, а сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна см.

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан ци­линдр, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся квад­рат, так, что одно ос­но­ва­ние ци­лин­дра лежит на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, а дру­гое ос­но­ва­ние ци­лин­дра ка­са­ет­ся бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды. Най­ди­те объем ци­лин­дра, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна см, а сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна см.

Центр сферы, опи­сан­ной около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, делит ее вы­со­ту в от­но­ше­нии 5 : 3, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те угол на­кло­на бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния.

Точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды делит от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий вер­ши­ну пи­ра­ми­ды с цен­тром опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды сферы, в от­но­ше­нии 5 : 3, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те угол на­кло­на бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния.

Каж­дое ребро тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна a. Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

Каж­дое ребро тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равно a. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной в нее сферы.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де угол между бо­ко­вой гра­нью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен 45 В пи­ра­ми­ду впи­сан ци­линдр, ниж­нее ос­но­ва­ние ко­то­ро­го лежит на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, а окруж­ность его верх­не­го ос­но­ва­ния ка­са­ет­ся бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов пи­ра­ми­ды и ци­лин­дра, если осе­вое се­че­ние ци­лин­дра яв­ля­ет­ся квад­ра­том.

В конус впи­са­на пря­мая ше­сти­уголь­ная приз­ма так, что ниж­нее ее ос­но­ва­ние лежит на ос­но­ва­нии ко­ну­са, а вер­ши­ны верх­не­го ос­но­ва­ния лежат на бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са. Все ребра приз­мы равны. Най­ди­те от­но­ше­ние пол­ных по­верх­но­стей ко­ну­са и приз­мы, если осе­вое се­че­ние ко­ну­са яв­ля­ет­ся пра­виль­ным тре­уголь­ни­ком.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 4 см, пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 4 см². Най­ди­те, во сколь­ко раз пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са мень­ше пло­ща­ди его бо­ко­вой по­верх­но­сти, если угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния тупой.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 2 см, пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 2 см². Най­ди­те, во сколь­ко раз пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са боль­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния.

Около ци­лин­дра, осе­вое се­че­ние ко­то­ро­го  — квад­рат, опи­са­на тре­уголь­ная приз­ма, пе­ри­метр ос­но­ва­ния ко­то­рой равен 14 см, а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти  — 56 см². Вы­чис­ли­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Около ци­лин­дра, осе­вое се­че­ние ко­то­ро­го  — квад­рат, опи­са­на тре­уголь­ная приз­ма, объем ко­то­рой равен 672 см³, а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти  — 504 см². Вы­чис­ли­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Конус впи­сан в пи­ра­ми­ду, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 2 и 8 см. Объем ко­ну­са равен см³. Най­ди­те угол на­кло­на бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды к плос­ко­сти ос­но­ва­ния.

Конус опи­сан около пи­ра­ми­ды PABCD, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся тра­пе­ция ABCD. Из­вест­но, что AB=BC=CD=3 см и один из углов тра­пе­ции равен 60°. Объем ко­ну­са равен см³. Най­ди­те угол на­кло­на бо­ко­вых ребер пи­ра­ми­ды к плос­ко­сти ос­но­ва­ния.

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равно 1 см, а ра­ди­ус опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды сферы равен 1 см. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна см, а ра­ди­ус опи­сан­но­го около пи­ра­ми­ды шара равен см. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Най­ди­те объем шара, впи­сан­но­го в тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду, все ребра ко­то­рой равны см.

В тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду, все ребра ко­то­рой равны между собой, впи­сан шар, ра­ди­ус ко­то­ро­го равен см. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Центр шара ра­ди­у­сом R сов­па­да­ет с цен­тром ос­но­ва­ния ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са ка­са­ют­ся дан­но­го шара на рас­сто­я­нии 0,5R от ос­но­ва­ния ко­ну­са. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей по­верх­но­стей шара и ко­ну­са.

В шар ра­ди­у­сом R по­ме­щен конус так, что его вер­ши­на сов­па­да­ет с цен­тром шара, а ос­но­ва­ние ка­са­ет­ся по­верх­но­сти шара. От­но­ше­ние бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са к по­верх­но­сти шара равно 1 : 8. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра шара до ос­но­ва­ния ко­ну­са.

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан конус. Най­ди­те объем ко­ну­са, если объем пи­ра­ми­ды равен см³.

Около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды опи­сан конус. Най­ди­те объем ко­ну­са, если объем пи­ра­ми­ды равен см³.

Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те пол­ную по­верх­ность пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, впи­сан­ной в шар ра­ди­у­са ко­то­рая имеет наи­боль­шую бо­ко­вую по­верх­ность.

Из мно­же­ства пра­виль­ных тре­уголь­ных призм, пе­ри­метр бо­ко­вой грани ко­то­рых равен 14, най­ди­те пол­ную по­верх­ность той приз­мы, около ко­то­рой можно опи­сать шар мень­ше­го ра­ди­у­са.

В пра­виль­ную тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­са­на сфера, центр ко­то­рой делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 5 : 4, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пло­щадь сферы, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна

В пра­виль­ную тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­са­на сфера, центр ко­то­рой делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 5 : 3, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пло­щадь сферы, если апо­фе­ма пи­ра­ми­ды равна 20.

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­са­на сфера, центр ко­то­рой делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 5 : 3, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пло­щадь сферы, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 18.

Бо­ко­вая грань пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60°. Най­ди­те пло­щадь сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду, если апо­фе­ма пи­ра­ми­ды равна 12 см.

Со­ставь­те урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции про­хо­дя­щей через точку A (1 ; –1).

Со­ставь­те урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции про­хо­дя­щей через точку A (2; –2).

В пра­виль­ную тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан конус, и около нее опи­сан конус. Най­ди­те раз­ность объ­е­мов опи­сан­но­го и впи­сан­но­го ко­ну­сов, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 4, а длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са равна

В пра­виль­ную тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан конус, и около нее опи­сан конус. Най­ди­те раз­ность объ­е­мов опи­сан­но­го и впи­сан­но­го ко­ну­сов, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 5, а длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са равна

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан куб так, что че­ты­ре вер­ши­ны куба лежат на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, а про­ти­во­по­лож­ные им вер­ши­ны при­над­ле­жат бо­ко­вым реб­рам пи­ра­ми­ды. Най­ди­те ребро куба, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна см, а сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна см.

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан куб так, что че­ты­ре вер­ши­ны куба лежат на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, а про­ти­во­по­лож­ные им вер­ши­ны при­над­ле­жат бо­ко­вым реб­рам пи­ра­ми­ды. Най­ди­те ребро куба, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна см, а сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна см.

Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Пло­щадь ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 16. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AA₁ и B₁D.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна E и F  — се­ре­ди­ны ребер A₁B₁ и AC со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AA₁ и EF.

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан ци­линдр, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся квад­рат, так, что одно ос­но­ва­ние ци­лин­дра лежит на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, а дру­гое ос­но­ва­ние ци­лин­дра ка­са­ет­ся бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды. Най­ди­те объем ци­лин­дра, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна см, а сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна см.

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан ци­линдр, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся квад­рат, так, что одно ос­но­ва­ние ци­лин­дра лежит на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, а дру­гое ос­но­ва­ние ци­лин­дра ка­са­ет­ся бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды. Най­ди­те объем ци­лин­дра, если вы­со­та пи­ра­ми­ды равна см, а сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна см.

Через сто­ро­ну ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды и центр впи­сан­но­го в нее шара про­ве­де­на плос­кость. Бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды в 3,5 раза боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния. Най­ди­те от­но­ше­ния объ­е­мов ча­стей пи­ра­ми­ды (боль­шей к мень­шей), на ко­то­рые делит ее дан­ная плос­кость.

Через сто­ро­ну ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды и центр впи­сан­но­го в нее шара про­ве­де­на плос­кость. Сто­ро­на ос­но­ва­ния в 2,5 раза мень­ше бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды. Най­ди­те от­но­ше­ния объ­е­мов ча­стей пи­ра­ми­ды (мень­шей к боль­шей), на ко­то­рые делит ее дан­ная плос­кость.

Най­ди­те абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков функ­ций и

Най­ди­те абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков функ­ций и

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равно 1 см, а ра­ди­ус опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды сферы равен 1 см. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна см, а ра­ди­ус опи­сан­но­го около пи­ра­ми­ды шара равен см. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Центр шара, опи­сан­но­го около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, делит ее вы­со­ту в от­но­ше­нии 5 : 3, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те угол на­кло­на бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния.

Точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды делит от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий вер­ши­ну пи­ра­ми­ды с цен­тром опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды сферы, в от­но­ше­нии 5 : 3, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те угол на­кло­на бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния.

Най­ди­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень урав­не­ния

Ос­но­ва­ние пря­мой тре­уголь­ной приз­мы  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем 16 см, бо­ко­вое ребро приз­мы равно 15 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся диа­го­на­ля­ми рав­ных бо­ко­вых гра­ней.

Ос­но­ва­ние пря­мой тре­уголь­ной приз­мы  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем 24 см, бо­ко­вое ребро приз­мы равно 16 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся диа­го­на­ля­ми рав­ных бо­ко­вых гра­ней.

Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ши­те урав­не­ние

Ис­сле­дуй­те функ­цию и по­строй­те ее гра­фик.

Ис­сле­дуй­те функ­цию и по­строй­те ее гра­фик.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD все ребра равны 2 см, точки K и P  — се­ре­ди­ны ребер AD и SC со­от­вет­ствен­но. Через от­рез­ки SK и DP про­ве­де­ны па­рал­лель­ные между собой плос­ко­сти. Най­ди­те объем тела, огра­ни­чен­но­го двумя дан­ны­ми плос­ко­стя­ми се­че­ний.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD все ребра равны 6 см, точки K и P  — се­ре­ди­ны ребер AD и SC со­от­вет­ствен­но. Через от­рез­ки SK и DP про­ве­де­ны па­рал­лель­ные между собой плос­ко­сти. Най­ди­те объем тела, огра­ни­чен­но­го двумя дан­ны­ми плос­ко­стя­ми се­че­ний.

Угол между вы­со­той пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды и бо­ко­вой гра­нью равен 30°. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если ра­ди­ус впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду шара равен 2 см.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен R, вы­со­та H. В конус впи­сан ци­линдр, одно ос­но­ва­ние ко­то­ро­го лежит на ос­но­ва­нии ко­ну­са, а дру­гое  — на бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может бо­ко­вая по­верх­ность ци­лин­дра?

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен R, вы­со­та H. В конус впи­сан ци­линдр, одно ос­но­ва­ние ко­то­ро­го лежит на ос­но­ва­нии ко­ну­са, а дру­гое  — на бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может иметь объем ци­лин­дра?

Ис­сле­дуй­те функ­цию и по­строй­те ее гра­фик.

Ис­сле­дуй­те функ­цию и по­строй­те ее гра­фик.

Вы­со­та пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды мень­ше ра­ди­у­са опи­сан­ной около нее сферы в 4 раза. Най­ди­те квад­рат от­но­ше­ния пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды к пло­ща­ди ее ос­но­ва­ния.

Ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, в 3 раза боль­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Най­ди­те квад­рат от­но­ше­ния пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды к пло­ща­ди ее ос­но­ва­ния.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де DABC все ребра равны 6 см, точки K и P  — се­ре­ди­ны ребер AC и DB со­от­вет­ствен­но. Через от­рез­ки DK и CP про­ве­де­ны па­рал­лель­ные между собой плос­ко­сти. Най­ди­те объем тела, огра­ни­чен­но­го двумя дан­ны­ми плос­ко­стя­ми се­че­ний.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де DABC все ребра равны см, точки K и P  — се­ре­ди­ны ребер AC и DB со­от­вет­ствен­но. Через от­рез­ки DK и CP про­ве­де­ны па­рал­лель­ные между собой плос­ко­сти. Най­ди­те объем тела, огра­ни­чен­но­го двумя дан­ны­ми плос­ко­стя­ми се­че­ний.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де DABC сто­ро­на ос­но­ва­ния равна бо­ко­во­му ребру. Через ме­ди­а­ны DK и CP смеж­ных гра­ней пи­ра­ми­ды про­ве­де­ны па­рал­лель­ные между собой плос­ко­сти. Най­ди­те объем тела, огра­ни­чен­но­го двумя дан­ны­ми плос­ко­стя­ми се­че­ний, если сто­ро­на ос­но­ва­ния равна см.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де DABC сто­ро­на ос­но­ва­ния равна бо­ко­во­му ребру. Через ме­ди­а­ны DK и CP смеж­ных гра­ней пи­ра­ми­ды про­ве­де­ны па­рал­лель­ные между собой плос­ко­сти. Най­ди­те объем тела, огра­ни­чен­но­го двумя дан­ны­ми плос­ко­стя­ми се­че­ний, если сто­ро­на ос­но­ва­ния равна см.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В пря­мой тре­уголь­ной приз­ме сто­ро­ны ос­но­ва­ния 15 см, 15 см и 18 см, а бо­ко­вое ребро 12 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между рав­ны­ми скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся диа­го­на­ля­ми бо­ко­вых гра­ней.

В пря­мой тре­уголь­ной приз­ме сто­ро­ны ос­но­ва­ния 25 см, 25 см и 14 см, а бо­ко­вое ребро 24 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между рав­ны­ми скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся диа­го­на­ля­ми бо­ко­вых гра­ней.

Вы­со­та SO пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD со­став­ля­ет с плос­ко­стью бо­ко­вой грани SCD угол 30°. Через сто­ро­ну ос­но­ва­ния AB пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти SCD. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма пи­ра­ми­ды к объ­е­му мно­го­гран­ни­ка, за­клю­чен­но­го между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния.

Вы­со­та SO пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD со­став­ля­ет с плос­ко­стью бо­ко­вой грани SAB угол 30°. Через сто­ро­ну ос­но­ва­ния CD пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти SAB. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, по­лу­чен­ных при пе­ре­се­че­нии пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью.

Длина об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са равна 6 см, а угол между вы­со­той и об­ра­зу­ю­щей равен 30°. В конус впи­сан ци­линдр наи­боль­ше­го объ­е­ма. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Длина об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са равна 12 см, а угол между вы­со­той и об­ра­зу­ю­щей равен 60°. В конус впи­сан ци­линдр наи­боль­ше­го объ­е­ма. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра к пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с мень­шим ос­но­ва­ни­ем 6 см, бо­ко­вой сто­ро­ной 12 см и углом 120°. Через ребро AD и вер­ши­ну C₁ приз­мы про­ве­де­но се­че­ние. Най­ди­те объем ци­лин­дра, впи­сан­но­го в эту приз­му, если пло­щадь се­че­ния равна 144 см².

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с мень­шим ос­но­ва­ни­ем 4 см, бо­ко­вой сто­ро­ной 8 см и углом 120°. Через ребро B₁C₁ и вер­ши­ну A приз­мы про­ве­де­но се­че­ние. Най­ди­те объем ци­лин­дра, впи­сан­но­го в эту приз­му, если пло­щадь се­че­ния равна 64 см².

В усе­чен­ный конус впи­сан шар. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди по­верх­но­сти шара к пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са, если об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30°.

В усе­чен­ный конус впи­сан шар. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди по­верх­но­сти шара к пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са, если об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60°.

В пи­ра­ми­ду, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, впи­са­на сфера. Най­ди­те пло­щадь сферы, если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 25 и 9, а вы­со­ты бо­ко­вых гра­ней, про­ве­ден­ные из вер­ши­ны пи­ра­ми­ды, равны 15.

В пи­ра­ми­ду, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, впи­са­на сфера. Най­ди­те пло­щадь сферы, если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 8, а вы­со­ты бо­ко­вых гра­ней, про­ве­ден­ные из вер­ши­ны пи­ра­ми­ды, равны 12.

В шар впи­сан конус, осе­вое се­че­ние ко­то­ро­го  — ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник. Ра­ди­ус шара, пер­пен­ди­ку­ляр­ный плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, де­лит­ся этой плос­ко­стью в от­но­ше­нии 3 : 2, счи­тая от цен­тра шара. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти куба, впи­сан­но­го в конус, если че­ты­ре вер­ши­ны куба лежат в плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, а че­ты­ре дру­гие  — на бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са и ра­ди­ус шара равен 5 см.

В шар впи­сан конус, осе­вое се­че­ние ко­то­ро­го  — ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник. Ра­ди­ус шара, пер­пен­ди­ку­ляр­ный плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, де­лит­ся этой плос­ко­стью в от­но­ше­нии 3 : 2, счи­тая от цен­тра шара. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти куба, впи­сан­но­го в конус, если че­ты­ре вер­ши­ны куба лежат в плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, а че­ты­ре дру­гие  — на бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са и ра­ди­ус шара равен 10 см.

В пра­виль­ный ок­та­эдр впи­сан шар. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма шара к объ­е­му ок­та­эд­ра.

В пра­виль­ный ок­та­эдр впи­са­на сфера. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди сферы к пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ок­та­эд­ра.