PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Найдите касательные к графику функции 
которые параллельны оси 
Решение. Касательные, параллельные оси абсцисс, имеют угловой коэффициент, равный 0, поэтому выполнено следующее условие:
Найдём абсциссы точек касания:
Теперь найдём уравнения этих касательных:
Ответ: y = −4; y = 0.
Найдите касательные к графику функции 
которые параллельны оси
Решение. Касательные, параллельные оси абсцисс, имеют угловой коэффициент, равный 0, поэтому выполнено следующее условие:
Найдём абсциссы точек касания:
Теперь найдём уравнения этих касательных:
Ответ: y = 1, y = 0.
Найдите, какие значения может принимать 
если 
Решение. Упростим:
Если 
то 
Если 
то 
Ответ: 
Найдите, какие значения может принимать 
если 
Решение. Упростим:
Если 
то 
Если 
то 
Ответ:
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся свойствами степеней и решим соответствующее уравнение:
Ответ: {−3; 4}.
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся свойствами степеней и решим соответствующее уравнение:
Ответ: {2; −4}.
Решите неравенство 
Решение. Снимем корень и решим получившееся неравенство:
Воспользуемся методом интервалов:
Видно, что решением является 
{4}.
Ответ: {4}.
{4}.{4}.Решите неравенство 
Решение. Снимем корень и решим получившееся неравенство:
Воспользуемся методом интервалов:
Видно, что решением является 
{2}.
Ответ: {2}.
{2}.{2}.Найдите точки графика функции 
в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.
Решение. Так как то 
Решим уравнение 
:
Найдем 
Таким образом, касательная к графику функции 
параллельна оси абсцисс в точке с координатами 
Ответ: 
Найдите точки графика функции 
в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.
Решение. Так как то 
тогда решим уравнение :
Теперь найдем 
и 
:
Имеем, что касательная к графику функции 
параллельна оси абсцисс в точках с координатами 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Применим основное тригонометрическое тождество и получим:
Тогда получаем:
Ответ: 
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции при 
то есть 
Имеем:
Ответ: 3,5.
Прямая 
является касательной к графику функции 
в некоторой точке (или нескольких точках). Найдите абсциссу точки касания (абсциссы, если точек несколько).
Решение. Производная функции 
равна: 
Так как угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания имеем:
Ответ: 
Прямая 
является касательной к графику функции 
в некоторой точке (или нескольких точках). Найдите абсциссу точки касания (абсциссы, если точек несколько).
Решение. Производная функции равна: 
Так как угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания имеем:
Ответ: 
Решите уравнение 
и найдите среднее арифметическое корней уравнения, принадлежащих промежутку 
Решение. Перенесём все члены в одну часть, вынесем общий множитель и решим уравнение:
Решим двойное неравенство, чтобы понять, какие из корней попадают в заданный отрезок:
Найдём среднее арифметическое корней: 
Ответ: 
Решите уравнение 
и найдите среднее арифметическое корней уравнения, принадлежащих промежутку 
Решение. Перенесём все члены в одну часть, вынесем общий множитель и решим уравнение:
Решим двойное неравенство, чтобы понять, какие из корней попадают в заданный отрезок:
Найдём среднее арифметическое корней: 
Ответ: 
Найдите если 
Решение. Преобразуем выражение:
Ответ: 
Найдите если 
Решение. Преобразуем выражение:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Пусть 
Тогда получаем:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ:
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Пусть 
Тогда получаем:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ:
Решите неравенство 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Выполним равносильные преобразования:
Ответ: 
Найдите значение выражения 
Решение. Преобразуем выражение:
Ответ: 3.
Найдите значение выражения 
Решение. Упростим выражение:
Ответ: 
Найдите произведение наибольшего и наименьшего целых решений неравенства 
Решение. Найдем нули каждого из множителей и решим методом интервалов:
Заметим, что:
и 
Тогда 
Учитывая все отношения между числами, методом интервалов получаем, что 
Наименьшим и наибольшим целым решением неравенства являются числа 2 и 4 соответственно (см. изображение).
Итак, произведение этих чисел — 8.
Ответ: 8.
Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений неравенства 
Решение. Найдем нули каждого из множителей и решим методом интервалов:
Заметим, что:
и 
Тогда 
Учитывая все отношения между числами, методом интервалов получаем, что 
Наименьшим и наибольшим решением неравенства являются числа 1 и 3 соответственно (см. изображение).
Итак, сумма этих чисел — 4.
Ответ: 4.
Решите неравенство 
Решение. Найдём корни уравнения, соответствующего данному неравенству, а затем решим неравенство методом интервалов с учётом неотрицательности подкорневого выражения
Нанесём корни на ось и обозначим подходящие промежутки с условием на то, что 
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Найдём корни уравнения, соответствующего данному неравенству, а затем решим неравенство методом интервалов с учётом неотрицательности подкорневого выражения:
Нанесём корни на ось и обозначим подходящие промежутки с условием на то, что 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Пусть t = 8x, причем t > 0, тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Пусть t = 3x, t > 0, тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: {1}.
Решите уравнение 
Решение. Уравнение 
имеет решение, если:
Только число 4 может являться корнем уравнения. Проверим подстановкой:
— неверно.
Ответ: нет решений.
Решите уравнение 
Решение. Уравнение 
имеет решение, если:
Только число 5 может являться корнем уравнения. Проверим подстановкой:
— неверно.
Ответ: нет решений.
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов, упростим уравнение и решим его:
Ответ: {9}.
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов, упростим уравнение и решим его:
Ответ: {25}.
Найдите промежутки возрастания и убывания функции 
Решение. Рассмотрим функцию Знаменатель оборачивается в ноль при 
значит, 
Теперь найдем 
При 
данная функция возрастает, а при 
— убывает.
Ответ: промежуток возрастания:
промежуток убывания:
промежуток убывания: промежуток убывания:Найдите промежутки возрастания и убывания функции 
Решение. Рассмотрим функцию Знаменатель оборачивается в ноль при значит, Теперь найдем
При данная функция возрастает, а при — убывает.
Ответ: промежуток убывания — 
промежуток возрастания —
промежуток возрастания — промежуток возрастания — Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся формулой разности синусов для 
и формулой двойного угла для 
вынесем общий множитель и решим полученное уравнение:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся формулой суммы косинусов для 
и формулой двойного угла для 
вынесем общий множитель и решим полученное уравнение:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Так как 
имеем:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Так как имеем:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Приведем к одному основанию:
Ответ: −1.
Решите уравнение 
Решение. Приведем к одному основанию:
Ответ: −1.
Решите неравенство 
Решение. Упростим:
Зная, что 
используем метод интервалов:
Итак, 
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Упростим:
Зная, что 
используем метод интервалов:
Итак, 
Ответ: 
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: {
}.
}.}.Найдите область определения функции 
Решение. Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно:
Воспользуемся методом интервалов:
Получаем: x<1, x=2.
Ответ: 
{
}.
{}.{}.Найдите область определения функции 
Решение. Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно:
Воспользуемся методом интервалов:
Получаем: x<1.
Ответ: 
Решите систему уравнений 
Решение. Решим вначале второе уравнение системы:
Приведем замену 
из первого уравнения системы и решим уравнение на 
Теперь вернемся к системе. Имеем:
Ответ: 
Решите систему уравнений 
Решение. Решим вначале второе уравнение системы:
Приведем замену 
из первого уравнения системы и решим уравнение на 
Теперь вернемся к системе. Имеем:
Ответ: 
Решите неравенство 
если 
а 
Решение. Найдем производные функций, получим: 
и 
Тогда имеем:
Ответ: 
Решите неравенство 
если 
а 
Решение. Найдем производные функций, получим: 
и 
Тогда имеем:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство методом интервалов:
Ответ: [−3; −2]
{3}.
{3}.{3}.Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство методом интервалов:
Ответ: {−2}(1; 2].
(1; 2].(1; 2].Решите уравнение 
Решение. Зная, что 
получаем:
Заметим, что при x = 3 логарифм 
не существует, тогда ответ x = −1.
Ответ: − 1.
Решите уравнение 
Решение. Зная, что 
получаем:
Ответ: 2.
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: {1}.
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: {1}.
Прямая 
параллельна касательной к графику функции 
Найдите абсциссу точки касания.
Решение. Угловой коэффициент касательной равен 2, так как прямая параллельна касательной. Также угловой коэффициент равен производной функции 
где x — абсцисса точки касания, тогда:
Ответ: 2,5.
Прямая 
параллельна касательной к графику функции 
Найдите абсциссу точки касания.
Решение. Угловой коэффициент касательной равен 3, так как прямая параллельна касательной. Также угловой коэффициент равен производной функции где x — абсцисса точки касания, тогда:
Ответ: 0,5.
Найдите значение выражения 
Решение. Упростим:
Ответ: 23,5.
Найдите значение выражения 
Решение. Упростим:
Ответ: 24,5.
Найдите область значений функции 
Решение. Заметим, что
Полученное выражение задаёт параболу, ветви которой направлены вверх, а значит, минимальное значение достигается в вершине — точке с координатами 
Итак, максимальное значение вычитаемого, которое является числом, меньшим единицы, достигается при минимальном значении степени и равно 4. Минимальное же значение стремится к нулю в виду того, что значение степени стремится к бесконечности. Тогда, так как исходная функция непрерывна, она принимает все значения на полуинтервале от 
включительно, до 
не включительно.
Ответ: 
Найдите область значений функции 
Решение. Заметим, что
Полученное выражение задаёт параболу, ветви которой направлены вверх, а значит, минимальное значение достигается в вершине — точке с координатами 
Итак, максимальное значение вычитаемого, которое является числом, меньшим единицы, достигается при минимальном значении степени и равно 0,4. Минимальное же значение стремится к нулю в виду того, что значение степени стремится к бесконечности. Тогда, так как исходная функция непрерывна, она принимает все значения на полуинтервале от 
включительно, до 
не включительно.
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Область определения данной функции задается системой:
Решим первое неравенство системы:
Решим второе неравенство:
Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого неравенства. Таким образом, получаем, что 
Ответ:
Найдите область определения функции 
Решение. Область определения данной функции задается системой:
Решим первое неравенство:
Решим второе неравенство:
Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого неравенства. Таким образом, получаем, что 
Ответ:
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим однородное тригонометрическое уравнение второй степени:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим однородное тригонометрическое уравнение второй степени:
Ответ: 
К графику функции 
проведены касательные, параллельные прямой 
Найдите координаты точек касания.
Решение. Возьмём производные от обеих функций:
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Решим квадратное уравнение, чтобы найти абсциссы точек касания:
Подставим полученные значения в уравнение функции, чтобы найти ординаты точек пересечения
Ответ: 
К графику функции 
проведены касательные, параллельные прямой 
Найдите координаты точек касания.
Решение. Возьмём производные от обеих функций:
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Решим квадратное уравнение, чтобы найти абсциссы точек касания:
Подставим полученные значения в уравнение функции, чтобы найти ординаты точек пересечения
Ответ: 
Найдите все корни уравнения 
Решение. Произведение равно нулю в тех и только тех случаях, когда один из сомножителей равен нулю. Решим сначала уравнение 
При этом 
— посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат.
Решим теперь уравнение 
Его корни 
и 
однако не входит в ОДЗ уравнения: для него не определено выражение 
Значит, годится только 
Окончательно: 
или
Ответ: 
Найдите все корни уравнения 
Решение. Произведение равно нулю в тех и только тех случаях, когда один из сомножителей равен нулю.
Решим сначала уравнение 
При этом 
— посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат.
Решим теперь уравнение 
Его корни 
и 
однако не входит в ОДЗ уравнения: для него не определен 
Значит, годится только 
Окончательно: или
Ответ: 
Найдите промежутки возрастания и убывания, а также точки минимума и максимума функции 
Решение. Вначале найдем область определения функции. Знаменатель оборачивается в ноль при 
значит,
Теперь найдем
откуда 
и 
Итак, функция возрастает на промежутке 
и на 
а убывает на промежутке 
и на 
(см. рис).
Ответ: функция возрастает на промежутке и на а убывает на промежутке и на 
Максимум и минимум функции соответственно равны и 
Приведем другое решение.
Вычислим производную данной функции.
Это выражение положительно при 
и при 
а отрицательно при 
Поэтому изначальная функция возрастает на 
и на 
и убывает на 
и на 
При функция не определена.
Точка 
будет для функции точкой максимума, а точка будет для функции точкой минимума (это видно из монотонности функции по разные стороны от данных точек), при этом 
Найдите промежутки возрастания и убывания, а также точки минимума и максимума функции 
Решение. Вначале найдем область определения функции. Знаменатель оборачивается в ноль при 
значит, 
Теперь найдем
откуда 
и 
Итак, функция возрастает на промежутке 
и на 
а убывает на промежутках 
и на 
(см. изображение).
Ответ: Функция возрастает на промежутке и на а убывает на промежутке и на 
Максимум и минимум функции соответственно равны и
Приведем другое решение.
Вычислим производную данной функции.
Это выражение положительно при 
и при 
а отрицательно при 
Поэтому изначальная функция возрастает на 
и на 
и убывает на 
и на 
При функция не определена.
Точка будет для функции точкой максимума, а точка будет для функции точкой минимума (это видно из монотонности функции по разные стороны от данных точек), при этом 
Найдите произведение наибольшего и наименьшего целых решений неравенства
Решение. Найдем нули каждого из множителей и решим методом интервалов:
Заметим, что:
и
Тогда Учитывая все отношения между числами, методом интервалов получаем, что Наименьшим и наибольшим целым решением неравенства являются числа 2 и 4 соответственно (см. изображение).
Итак, произведение этих чисел — 8.
Ответ: 8.
Приведем другое решение.
Первый множитель положителен, если 
то есть при 
и отрицателен при 
(нас интересуют только целые значения x). Аналогично второй положителен при 
то есть при 
и отрицателен при 
Значит, разные знаки у множителей будут при 
Поэтому ответ на задачу 
Ромб, длины диагоналей которого равны 6 см и 8 см, вращается вокруг стороны. Найдите объем тела вращения.
Решение. Опустим перпендикуляры BH и CK на прямую AD и сразу отметим, что прямоугольные треугольники ABH и DCK равны по катету — высоте ромба и гипотенузе — его стороне. Значит, при их вращении вокруг прямой AD получаются конусы одинакового объема.
Рассмотрим теперь тело вращения, получаемое вращением ромба вокруг прямой AD. Оно состоит из конуса — результата вращения треугольника ABH и цилиндра — результата вращения прямоугольника BCKH, из которого удален такой же конус — результат вращения треугольника DCK). Значит, объем его равен объему цилиндра, полученного вращением прямоугольника BCKH, то есть 
Сторона ромба является гипотенузой в треугольнике, катеты которого — половины его диагоналей, поэтому 
Площадь ромба равна с одной стороны 
а с другой — 
откуда 
Окончательно: 
Ответ: 
Ромб, длины диагоналей которого равны 12 см и 16 см, вращается вокруг стороны. Найдите объем тела вращения.
Решение. Опустим перпендикуляры BH и CK на прямую AD и сразу отметим, что прямоугольные треугольники ABH и DCK равны по катету — высоте ромба и гипотенузе — его стороне. Значит, при их вращении вокруг прямой AD получаются конусы одинакового объема.
Рассмотрим теперь тело вращения, получаемое вращением ромба вокруг прямой AD. Оно состоит из конуса — результата вращения треугольника ABH и цилиндра — результата вращения прямоугольника BCKH, из которого удален такой же конус — результат вращения треугольника DCK. Значит, объем его равен объему цилиндра, полученного вращением прямоугольника BCKH, то есть 
Сторона ромба является гипотенузой в треугольнике, катеты которого — половины его диагоналей, поэтому 
Площадь ромба равна с одной стороны 
а с другой — откуда 
Окончательно: 
Ответ: 
Дан прямоугольник, длины сторон которого равны 2 см 
см.
Решение. Пусть вершины A и B прямоугольника ABCD лежат в плоскости α, а проекциями вершин C и D на эту плоскость являются точки H и K соответственно. Тогда проекцией прямой AC на α будет прямая CH, откуда 
и, следовательно,
Далее, BC перпендикулярна AB, тогда по теореме о трех перпендикулярах HB тоже перпендикулярна AB, откуда 
Наконец,
Ответ: 
Дан прямоугольник, длины сторон которого равны 2 см 
см.
Решение. Пусть вершины A и B прямоугольника ABCD лежат в плоскости α, а проекциями вершин C и D на эту плоскость являются точки H и K соответственно. Тогда проекцией прямой AC на 
будет прямая CH, откуда 
и, следовательно,
Далее, BC перпендикулярна AB, тогда по теореме о трех перпендикулярах HB тоже перпендикулярна AB, откуда 
Наконец,
Ответ:
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Расстояние между прямыми AA1 и B1C 
см.
см.
Решение. Пусть M и N — середины отрезков AA1 и B1C соответственно. Докажем, что MN — общий перпендикуляр к данным двум прямым. Пусть T — середина BC. Тогда, очевидно, что AM параллельна BB1 и NT, поскольку NT — средняя линия в треугольнике B1BC, тогда
Значит, 
Найдем длину AC:
Тогда, 
Наконец, площадь боковой поверхности равна
Ответ: 6.
Основание прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 — прямоугольный треугольник ACB (C = 90°), острый угол которого равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если расстояние между прямыми AA1 и B1C равно 6 см, а радиус окружности, описанной около треугольника B1BC, — 5 cм.
Решение. Докажем, что AC — общий перпендикуляр к данным двум прямым:
AC перпендикулярна AA1, поскольку AC лежит в плоскости ABC и плоскость ABC перпендикулярна AA1.
AC перпендикулярна CB1, поскольку AC перпендикулярна плоскости BCC1B1, так как AC перпендикулярна BC и AC перпендикулярна CC1, и CB1 лежит в плоскости BCC1B1. Значит, 
Треугольник B1BC — прямоугольный, поэтому его радиус описанной окружности равен половине его гипотенузы, откуда 
Тогда,
Наконец, площадь боковой поверхности равна:
Ответ: 
Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции 
Решение. Возьмем производную данной функции:
Это выражение положительно при 
и при а отрицательно при 
Поэтому изначальная функция возрастает на 
и на 
и убывает на 
и на 
При 
функция не определена.
Точка 
будет для функции точкой максимума, а точка будет для функции точкой минимума (это видно из монотонности функции по разные стороны от данных точек), при этом 
Ответ: функция возрастает на и на и убывает на и на 
и на и убывает на и на и на и убывает на и на Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции 
Решение. Возьмем производную данной функции:
Это выражение положительно при 
и при а отрицательно при 
Поэтому изначальная функция возрастает на 
и на 
и убывает на 
и на 
При функция не определена.
Точка 
будет для функции точкой максимума, а точка будет для функции точкой минимума (это видно из монотонности функции по разные стороны от данных точек), при этом 
Ответ: функция возрастает на и на и убывает на и на 
и на и убывает на и на и на и убывает на и на Стороны основания прямого параллелепипеда равны 15 см и 9 см, площадь основания 108 см2. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если меньшая его диагональ — 13 см.
Решение. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его сторон, умноженному на синус угла между ними, получаем, что 
откуда
Для одного угла параллелограмма следует взять плюс, для другого минус — они как раз в сумме дают 
Найдем тогда по теореме косинусов диагонали этого параллелограмма:
Значит, одна из его диагоналей равна 
а другая 
Все диагонали параллелепипеда являются гипотенузами треугольников, катетами которых будут боковое ребро призмы и одна из диагоналей основания. Обозначим длину бокового ребра за x, тогда 
откуда 
то есть 
Ясно, что использовать вторую диагональ основания нельзя.
Тогда боковая поверхность состоит из четырех прямоугольников общей площадью
Ответ: 240.
Стороны основания прямого параллелепипеда равны 13 см и 14 cм, площадь основания 168 см2. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если меньшая его диагональ — 17 см.
Решение. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его сторон, умноженному на синус угла между ними, получаем что 
откуда
Для одного угла параллелограмма следует взять плюс, для другого минус — они как раз в сумме дают
Найдем тогда по теореме косинусов диагонали этого параллелограмма:
а другая 
Все диагонали параллелепипеда являются гипотенузами треугольников, катетами которых будут боковое ребро призмы и одна из диагоналей основания. Обозначим длину бокового ребра за x, тогда 
откуда 
то есть 
Ясно, что использовать вторую диагональ основания нельзя.
Тогда боковая поверхность состоит из четырех прямоугольников общей площадью
Ответ: 432.
Найдите координаты точек, в которых касательные к графику функции параллельны прямой 
Решение. Найдём производную исходной функции:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, значит, нам нужны точки, в которых выполнено условие 
Решим уравнение:
Подставим эти значения в исходную функцию, чтобы найти ординаты точек.
При точка касания имеет координаты 
при она имеет координаты
Ни одна из этих точек не лежит на прямой 
поэтому касательные будут именно параллельны этой прямой, а совпадать с ней не будут.
Ответ: 
Найдите координаты точек, в которых касательные к графику функции 
параллельны прямой
Решение. Найдём производную исходной функции:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, значит, нам нужны точки, в которых выполнено условие 
Решим уравнение:
Подставим эти значения в исходную функцию, чтобы найти ординаты точек.
При точка касания имеет координаты 
при она имеет координаты 
Ни одна из этих точек не лежит на прямой 
поэтому касательные будут именно параллельны этой прямой, а совпадать с ней не будут.
Ответ: 
Решите уравнение
Решение. Пусть t = 8x, причем t > 0, тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ:
Решите уравнение 
Решение. Пусть
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Найдите сумму квадратов корней уравнения 
Решение. Сразу отметим, что дискриминант этого уравнения положителен (поскольку произведение старшего коэффициента и свободного члена отрицательно), значит, оно имеет два корня. Обозначим их x1 и x2 и воспользуемся теоремой Виета:
Ответ: 
Найдите сумму квадратов корней уравнения 
Решение. Сразу отметим, что дискриминант этого уравнения положителен (поскольку произведение старшего коэффициента и свободного члена отрицательно), значит, оно имеет два корня. Обозначим их x1 и x2 и воспользуемся теоремой Виета:
Ответ: 
Решите систему уравнений 
Решение. Приведем к общем основанию:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Первое уравнение системы можно записать в виде 
или 
откуда 
Сложив это уравнение со вторым, получим 
откуда 
и тогда 
Решите систему уравнений 
Решение. Приведем к общем основанию:
Ответ: 
Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — квадрат. Площадь сечения, проходящего через вершину C перпендикулярно DC1, 
см2.
Решение. Пусть 
Проведем в грани CC1D1D прямую CH перпендикулярную DC1. Заметим, что BC перпендикулярна DC1, поскольку BC перпендикулярна плоскости CC1D1D, значит, прямая DC1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости CHB, поэтому перпендикулярна и плоскости. Проведем через H в плоскости AA1D1D прямую HK параллельную AD, тогда HK параллельна BC. Значит, BCHK — требуемое сечение и оно имеет форму прямоугольника, одна из сторон которого равна x.
Найдем теперь вторую сторону. Пусть CH пересекает DC1 в точке O. В прямоугольном треугольнике C1CD отрезок CO — высота, поэтому
Треугольники DHO и C1CO подобны, поскольку 
как накрест лежащие, следовательно,
Тогда
значит,
По условию: 
откуда 
то есть 
Значит, площадь боковой поверхности составляет:
Ответ: 32 см2.
Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — квадрат. Площадь сечения, проходящего через вершину C перпендикулярно DC1, равна 
Вычислите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если его боковое ребро в 3 раза больше стороны основания.
Решение. Пусть 
Проведем в грани CC1D1D прямую CH перпендикулярную DC1. Заметим, что BC перпендикулярна DC1, поскольку BC перпендикулярна плоскости CC1D1D, значит, прямая DC1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости CHB, поэтому перпендикулярна и плоскости. Проведем через H в плоскости AA1D1D прямую HK параллельную AD, тогда HK параллельна BC. Значит, BCHK — требуемое сечение и оно имеет форму прямоугольника, одна из сторон которого равна x.
Найдем теперь вторую сторону. Пусть CH пересекает DC1 в точке O. В прямоугольном треугольнике C1CD отрезок CO — высота, поэтому
Треугольники DHO и C1CO подобны, поскольку 
как накрест лежащие, следовательно,
Тогда
значит,
По условию:
откуда 
то есть 
Значит, площадь боковой поверхности составляет:
Ответ: 108 см2.
Вычислите значение выражения 
Решение. Поскольку
первое слагаемое равно 2. Далее,
поэтому 
Значение выражения тогда равно:
Ответ: 2,008.
Вычислите значение выражения 
Решение. Поскольку
первое слагаемое равно 2. Далее,
поэтому 
Значение выражения тогда равно
Ответ: 
Дана функция 
Постройте график функции 
Решение. Графиком функции f(x) является парабола с вершиной
Эта парабола пересекает ось ординат при и 
График функции f(|x|) строится так: от графика f(x) оставляем половину правее оси ординат и строим симметричный график левее оси. Наконец, из этого графика получаем график |f(|x|)|, отражая относительно оси абсцисс все его части, оказавшиеся ниже оси.
Построим искомый график:
Ответ: см. рис.
Дана функция 
Постройте график функции
Решение. Графиком функции f(x) является парабола с вершиной
Эта парабола пересекает ось ординат при и 
График функции 
строится так: от графика f(x) оставляем половину правее оси ординат и строим симметричный график левее оси. Наконец, из этого графика получаем график 
отражая относительно оси абсцисс все его части, оказавшиеся ниже оси.
Построим искомый график:
Ответ: см. рис.
Решите неравенство 
Решение. Преобразуем неравенство:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Преобразуем неравенство:
Ответ: 
Примечание.
Нужна именно нижняя дуга, поэтому взять дугу от 
до 
нельзя.
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
Решение. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания. Возьмем производную и подставим в нее 
Значит, 
Ответ: −2.
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции 
в точке с абсциссой
Решение. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания. Возьмем производную и подставим в нее
Значит, 
Ответ: −3.
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
Решение. Решим уравнение:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
Решение. Решим уравнение:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Постройте график функции 
Решение. Функция
определена при условии
Если же она определена, то 
График функции представлен на рисунке.
Постройте график функции 
Решение. Функция
определена при условии
Если же она определена, то 
График функции представлен на рисунке.
Найдите длину линии пересечения двух сфер, радиусы которых равны 3 см и 5 см, а расстояние между их центрами 6 см.
Решение. Пусть O1 и O2 — центры сфер, A — точка, лежащая на линии их пересечения, H — проекция A на прямую O1O2. Тогда треугольник O1O2A имеет стороны 3, 5, 6 и потому определен однозначно, то есть все такие треугольники равны друг другу. Значит, в них во всех высота из вершины A падает в одну и ту же точку H основания O1O2, поэтому они все лежат в одной плоскости, проходящей через H перпендикулярно отрезку O1O2 и на одном и том же расстоянии от точки H, равном высоте этого треугольника. Наоборот, любая точка на данном расстоянии от H в этой плоскости образует треугольник с нужными сторонами, поскольку стороны будут равны 
и 
Значит, искомая линия — окружность радиуса AH. Осталось вычислить AH. Сделаем это, выразив площадь треугольника по формуле Герона:
Значит, длина окружности составляет:
Ответ: 
Найдите длину линии пересечения двух сфер, радиусы которых равны 4 см и 6 см, а расстояние между их центрами 5 см.
Решение. Пусть O1 и O2 — центры сфер, A — точка, лежащая на линии их пересечения, H — проекция A на прямую O1O2. Тогда треугольник O1O2A имеет стороны 3, 5, 6 и потому определен однозначно, то есть все такие треугольники равны друг другу. Значит, в них во всех высота из вершины A падает в одну и ту же точку H основания O1O2, поэтому они все лежат в одной плоскости, проходящей через H перпендикулярно отрезку O1O2 и на одном и том же расстоянии от точки H, равном высоте этого треугольника. Наоборот, любая точка на данном расстоянии от H в этой плоскости образует треугольник с нужными сторонами, поскольку стороны будут равны 
и 
Значит, искомая линия — окружность радиуса AH. Осталось вычислить AH. Сделаем это, выразив площадь треугольника по формуле Герона:
Значит, длина окружности составляет:
Ответ: 
Решите уравнение 
если 
Решение. Уравнение можно записать в виде:
Ответ: 
Решите уравнение если 
Решение. Уравнение можно записать в виде:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменой:
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Для определенности функции требуется выполнение трех условий:
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Для определенности функции требуется выполнение трех условий:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Преобразуем неравенство:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Преобразуем неравенство
Ответ: 
Концы 
дм
Решение. Пусть AD и BC — образующие цилиндра, O и O1 — центры его оснований, T — середина хорды AC. Тогда OO1 параллельна AD, поэтому OO1 параллельна плоскости ADBC. При этом AB не параллельно OO1 — иначе расстояние между ними было бы равно радиусу цилиндра. Значит,
поскольку OT перпендикулярна AC и OT перпендикулярна AD, так как основание цилиндра перпендикулярно образующей. По теореме Пифагора получаем:
тогда 
и
Площадь поверхности составляет:
Ответ: 
Концы 
дм
Решение. Пусть AD и BC — образующие цилиндра, O и O1 — центры его оснований, T — середина хорды AC. Тогда OO1 параллельна AD, поэтому OO1 параллельна ADBC. При этом AB не параллельно OO1 — иначе расстояние между ними было бы равно радиусу цилиндра. Значит,
поскольку OT перпендикулярна AC и OT перпендикулярна AD, так как основание цилиндра перпендикулярно образующей. По теореме Пифагора получаем:
тогда 
и
Площадь поверхности составляет:
Ответ: 
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является прямоугольный треугольник, площадь которого 
см2.
Решение. Пусть O — центр основания ABCD пирамиды SABCD. Тогда равнобедренные прямоугольные треугольники BAD и BSD равны по гипотенузе, являющейся общей, и острому углу. Значит, 
откуда 
то есть 
Далее,
Значит,
Ответ: 
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если площадь диагонального сечения 
см2.
Решение. Пусть O — центр основания ABCD пирамиды SABCD. Тогда треугольники BAD и BSD равны по трём сторонам. Значит, откуда 
то есть 
Далее,
Значит,
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Из уравнения следует, что:
При получаем верное равенство 
При 
получаем 
но 
не определен.
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Из уравнения следует, что:
При 
получаем верное равенство 
При получаем 
но 
не определен.
Ответ: 
Постройте график функции 
Решение. Рассмотрим следующую цепочку преобразований стандартного графика 
Они делаются так: сдвиг вправо на 2, отражение правой половины графика на левую полуплоскость, сдвиг вниз на 3, отражение относительно горизонтальной оси тех частей графика, которые оказались в нижней полуплоскости.
График изображён на рисунке.
Ответ: см. рис.
Постройте график функции 
Решение. Рассмотрим следующую цепочку преобразований стандартного графика
Они делаются так: сдвиг вправо на 3, отражение правой половины графика на левую полуплоскость, сдвиг вниз на 2, отражение относительно горизонтальной оси тех частей графика, которые оказались в нижней полуплоскости.
График изображён на рисунке
Ответ: см. рис.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны. Найдите расстояние между диагональю основания AC и медианой DN диагонального сечения SBD, если ребро 
см.
Решение. Заметим, что AC перпендикулярен BD и AC перпендикулярен SO, где O — центр основания пирамиды. Значит, AC перпендикулярен плоскости BSD. Опустим теперь перпендикуляр OT на DN. Он будет лежать в плоскости BCD и потому будет перпендикулярен к AC. Значит, его длина и есть нужное расстояние.
Поскольку все ребра пирамиды равны, треугольники BSD и BAD равны по трём сторонам, следовательно, 
и 
Пусть H — основание перпендикуляра из точки N на прямую BD. Тогда NH — средняя линия треугольника SBO. Далее,
тогда 
и 
Значит, искомое расстояние равно:
Ответ: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны. Найдите расстояние между диагональю основания AC и медианой DN диагонального сечения SBD, если ребро 
см.
Решение. Заметим, что AC перпендикулярен BD и AC перпендикулярен SO, где O — центр основания пирамиды. Значит, AC перпендикулярен BSD. Опустим теперь перпендикуляр OT на DN. Он будет лежать в плоскости BCD и потому будет перпендикулярен к AC. Значит, его длина и есть нужное расстояние.
Поскольку все ребра пирамиды равны, треугольники BSD и BAD равны по третьему признаку, следовательно, и
Пусть H — основание перпендикуляра из точки N на прямую BD. Тогда NH — средняя линия треугольника SBO. Далее,
и 
Значит, искомое расстояние равно:
Ответ: 
Найдите, под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная, проведенная к графику функции 
в точке его пересечения с осью ординат.
Решение. Найдем производную: 
График функции пересекает ось ординат в точке с абсциссой, где x0 = 0. При x = 0 получаем, что 
Тогда 
то есть 
откуда 
Ответ: 135°.
Найдите, под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная, проведенная к графику функции 
в точке его пересечения с осью ординат.
Решение. Найдем производную: 
График функции пересекает ось ординат в точке с абсциссой, где x0 = 0. При x = 0 получаем, что
Тогда то есть откуда
Ответ: 135°.
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 7 | y = −4; y = 0. |
| 2 | 17 | y = 1, y = 0. |
| 3 | 27 | |
| 4 | 37 | |
| 5 | 47 | {−3; 4}. |
| 6 | 57 | {2; −4}. |
| 7 | 67 | {4}. |
| 8 | 77 | {2}. |
| 9 | 87 | |
| 10 | 97 | |
| 11 | 107 | |
| 12 | 117 | 3,5. |
| 13 | 127 | |
| 14 | 137 | |
| 15 | 147 | |
| 16 | 157 | |
| 17 | 167 | |
| 18 | 177 | |
| 19 | 187 | |
| 20 | 197 | |
| 21 | 207 | |
| 22 | 217 | |
| 23 | 227 | 3 |
| 24 | 237 | |
| 25 | 247 | 8. |
| 26 | 257 | 4. |
| 27 | 267 | |
| 28 | 277 | |
| 29 | 287 | |
| 30 | 297 | 1 |
| 31 | 307 | нет решений. |
| 32 | 317 | нет решений. |
| 33 | 327 | 9 |
| 34 | 337 | 25 |
| 35 | 347 | промежуток возрастания: промежуток убывания: |
| 36 | 357 | промежуток убывания — промежуток возрастания — |
| 37 | 367 | |
| 38 | 377 | |
| 39 | 387 | |
| 40 | 397 | |
| 41 | 407 | −1. |
| 42 | 417 | −1. |
| 43 | 427 | |
| 44 | 437 | |
| 45 | 457 | |
| 46 | 467 | {}. |
| 47 | 477 | {}. |
| 48 | 487 | |
| 49 | 497 | |
| 50 | 507 | |
| 51 | 517 | |
| 52 | 527 | |
| 53 | 537 | [−3; −2]{3}. |
| 54 | 547 | {−2}(1; 2]. |
| 55 | 557 | − 1. |
| 56 | 567 | 2. |
| 57 | 577 | 1 |
| 58 | 587 | 1 |
| 59 | 597 | 2,5 |
| 60 | 607 | 0,5 |
| 61 | 617 | 23,5. |
| 62 | 627 | 24,5. |
| 63 | 637 | |
| 64 | 647 | |
| 65 | 657 | |
| 66 | 667 | |
| 67 | 677 | |
| 68 | 687 | |
| 69 | 697 | |
| 70 | 707 | |
| 71 | 804 | |
| 72 | 814 | |
| 73 | 864 | |
| 74 | 874 | |
| 75 | 884 | |
| 76 | 894 | |
| 77 | 904 | 6. |
| 78 | 914 | |
| 79 | 924 | функция возрастает на и на и убывает на и на |
| 80 | 934 | функция возрастает на и на и убывает на и на |
| 81 | 944 | 240. |
| 82 | 954 | 432. |
| 83 | 964 | |
| 84 | 974 | |
| 85 | 994 | |
| 86 | 1004 | |
| 87 | 1014 | |
| 88 | 1034 | |
| 89 | 1044 | 32 см2. |
| 90 | 1054 | 108 см2. |
| 91 | 1064 | 2,008. |
| 92 | 1074 | |
| 93 | 1084 | см. рис. |
| 94 | 1094 | см. рис. |
| 95 | 1104 | |
| 96 | 1114 | |
| 97 | 1144 | −2. |
| 98 | 1154 | −3. |
| 99 | 1164 | |
| 100 | 1174 | |
| 101 | 1204 | |
| 102 | 1214 | |
| 103 | 1224 | |
| 104 | 1234 | |
| 105 | 1244 | |
| 106 | 1254 | |
| 107 | 1264 | |
| 108 | 1274 | |
| 109 | 1304 | |
| 110 | 1314 | |
| 111 | 1324 | |
| 112 | 1334 | |
| 113 | 1344 | |
| 114 | 1354 | |
| 115 | 1364 | |
| 116 | 1374 | |
| 117 | 1404 | см. рис. |
| 118 | 1414 | см. рис. |
| 119 | 1424 | |
| 120 | 1434 | |
| 121 | 1464 | 135°. |
| 122 | 1474 | 135°. |