В тре­уголь­ник TPM впи­сан квад­рат Пусть его сто­ро­на равна

Тогда имеем

и Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки PTM и PNF. В них   — общий, а как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых NF и TM (PT  — се­ку­щая). Тогда эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны до двум углам, сле­до­ва­тель­но:

Най­дем объём ци­лин­дра:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

За­ме­тим, что ось ци­лин­дра сов­па­да­ет с вы­со­той пи­ра­ми­ды, а точки ка­са­ния верх­не­го ос­но­ва­ния с бо­ко­вы­ми гра­ня­ми лежат на апо­фе­мах (из сим­мет­рии пи­ра­ми­ды). Пусть T и M  — се­ре­ди­ны ребер при ос­но­ва­нии, N и F  — точки ка­са­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с от­рез­ка­ми PT и PM со­от­вет­ствен­но, N₁ и F₁  — вто­рые концы об­ра­зу­ю­щих ци­лин­дра с кон­ца­ми N и F со­от­вет­ствен­но. Рас­смот­рим се­че­ние плос­ко­стью PMT, все ука­зан­ные точки лежат в этом се­че­нии. Пусть, далее, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен r, тогда

По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки PNF и PMT по­доб­ны, по­это­му их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их сто­ро­ны. При этом и Зна­чит,

На­ко­нец, объем ци­лин­дра равен