Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и центр вписанного в нее шара проведена плоскость. Сторона основания в 2,5 раза меньше бокового ребра пирамиды. Найдите отношения объемов частей пирамиды (меньшей к большей), на которые делит ее данная плоскость.
Обозначим центр вписанного шара за O, основание высоты пирамиды за H, середину ребра BC за M и точку пересечения плоскости OBC с ребром AS за Q. Тогда
если опустить перпендикуляры AA1 и SS1 на плоскость BCQ, то прямоугольные треугольники AA1Q и SS1Q будут подобны по острому углу
Осталось найти это отношение. Пусть сторона основания тогда боковое ребро Далее,
а точка H делит отрезок AM в отношении поэтому Кроме того,
Заметим, что точка O лежит на биссектрисе угла HMT, поскольку она равноудалена от его сторон: вписанная сфера касается апофемы SM и плоскости основания в точке H, поэтому
Применим теперь теорему Менелая для треугольника ASH и прямой QOM. Получим:
Значит, искомое отношение меньшей части к большей равно
Ответ: