Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти, точки экс­тре­му­ма и экс­тре­му­мы функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Возь­мем про­из­вод­ную дан­ной функ­ции:

 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка '=2x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2x плюс x в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2x конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка ' плюс 0=2x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2x плюс x в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2x конец дроби умно­жить на 2= 2x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2x плюс x=x левая круг­лая скоб­ка 2\ln левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Оче­вид­но, что пер­вый мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен, иначе из­на­чаль­ная функ­ция не опре­де­ле­на. Ис­сле­ду­ем те­перь знак вы­ра­же­ния 2\ln левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1:

2\ln левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 боль­ше 0 рав­но­силь­но \ln левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: e конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: e конец ар­гу­мен­та конец дроби .

От­сю­да видно, что при x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: e конец ар­гу­мен­та конец дроби функ­ция воз­рас­та­ет, при 0 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: e конец ар­гу­мен­та конец дроби убы­ва­ет, при x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: e конец ар­гу­мен­та конец дроби имеет ми­ни­мум, при­чем

f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: e конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4e конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4=4 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8e конец дроби ,

а при x мень­ше или равно 0 во­об­ще не опре­де­ле­на.

 

Ответ: при x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: e конец ар­гу­мен­та конец дроби функ­ция воз­рас­та­ет, при 0 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: e конец ар­гу­мен­та конец дроби убы­ва­ет, x_min = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: e конец ар­гу­мен­та конец дроби , f_min = 4 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8e конец дроби .


Аналоги к заданию № 1086: 1096 Все

Классификатор алгебры: 13.3. Мо­но­тон­ность и экс­тре­му­мы функ­ции , 13.4. Наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции