Образовательный портал «РЕШУ ЦТ» — математика–11

Задания

Задание № 110 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 3.19. Шар, 3.23. Комбинации круглых тел, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Задания на 10 баллов

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°. Площадь осевого сечения конуса равна 75 см². Найдите площадь поверхности сферы, описанной около этого конуса.

Решение. Равнобедренный треугольник APC − осевое сечение конуса

( $\angle PAC=\angle PCA=30 градусов; \angle APC=120 градусов$ ). Найдем полощадь треугольника APK:

$S_APK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AP в квадрате умножить на синус \angle APK$ (см.рис.).

Тогда:

$AP в квадрате = дробь: числитель: 2S_APK, знаменатель: синус \angle APK конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 2 умножить на 75, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби }=100 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Отсюда $AP=10 корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента см .$ По теореме синусов из треугольника APK:

$2R= дробь: числитель: AP, знаменатель: синус \angle ACP конец дроби = дробь: числитель: 10 корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби } равносильно R=10 корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента см .$

Найдем теперь площадь сферы по формуле $S_сферы=4 Пи R в квадрате$ :

$S_сферы=4 Пи левая круглая скобка 10 корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате =400 Пи корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см в квадрате .$

Ответ: $400 Пи корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см в квадрате .$

110

$400 Пи корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см в квадрате .$

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 3.19. Шар, 3.23. Комбинации круглых тел, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Методы алгебры: Теорема синусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	110	$400 Пи корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см в квадрате .$