Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1166
i

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30°. Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са равна 75 см2. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара, опи­сан­но­го около этого ко­ну­са.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем 2r и углом 30° при ос­но­ва­нии, зна­чит, угол при вер­ши­не равен 180 гра­ду­сов минус 30 гра­ду­сов минус 30 гра­ду­сов =120 гра­ду­сов . По тео­ре­ме си­ну­сов бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка, то есть об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, равна:

l = дробь: чис­ли­тель: 2r, зна­ме­на­тель: синус 120 гра­ду­сов конец дроби умно­жить на синус 30 гра­ду­сов =2r умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2r, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна:

S = 75= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2r умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2r, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на синус 30 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: 2r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

от­ку­да r в квад­ра­те =75 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Ра­ди­ус шара, опи­сан­но­го около ко­ну­са, равен ра­ди­у­су круга, опи­сан­но­го около осе­во­го се­че­ния этого ко­ну­са. Най­дем этот ра­ди­ус по из­вест­ной фор­му­ле:

R= дробь: чис­ли­тель: 2r умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2r, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2r, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 75 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8r в кубе , зна­ме­на­тель: 3 умно­жить на 300 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2r умно­жить на r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 умно­жить на 75 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2r умно­жить на 75 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 умно­жить на 75 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2r, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти шара равна:

S_п.ш. = 4 Пи умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2r, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =4 Пи умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =4 Пи умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на 75 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =4 Пи умно­жить на 4 умно­жить на 25 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =400 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та Пи .

Ответ: 400 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та Пи .

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 3.19. Шар, 3.23. Ком­би­на­ции круг­лых тел, 4.3. Пло­щадь по­верх­но­сти круг­лых тел
Методы алгебры: Тео­ре­ма си­ну­сов
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024