Исследуйте функцию и постройте ее график.
Функция определена при всех x. Поскольку для всех значений переменной справедливо равенство функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот. Выясним поведение на бесконечности. При получаем:
поэтому ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при и отрицательна при или Значит, функция убывает на промежутке возрастает на промежутке и снова убывает на промежутке Точка является точкой минимума функции, а точка — точкой максимума, причем
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Знаменатель положителен при всех x. Числитель положителен на промежутках и и отрицателен на промежутках и Следовательно, функция выпукла вниз на промежутках и и выпукла вверх (вогнута) на промежутках и Точки являются точками перегиба, причем:
График функции изображен на рисунке.