РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 1216 Добавить в вариант

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $7 плюс синус 2x=7 синус x плюс 7 косинус x.$

Решение. Упростим:

$7 плюс синус 2x=7 синус x плюс 7 косинус x равносильно 7 плюс 2 синус x косинус x=7 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка .$

Пусть $синус x плюс косинус x=t,$ тогда:

$левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка в квадрате =t в квадрате равносильно синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x=t в квадрате равносильно$

$равносильно 1 плюс 2 синус x косинус x=t в квадрате равносильно 2 синус x косинус x=t в квадрате минус 1.$

Имеем:

$7 плюс t в квадрате минус 1=7t равносильно t в квадрате минус 7t плюс 6=0 равносильно совокупность выражений t=6,t=1. конец совокупности .$

Откуда

$совокупность выражений синус x плюс косинус x=6, синус x плюс косинус x=1. конец совокупности .$

Заметим, что первое уравнение не имеет решений, решим второе:

$синус x плюс косинус x=1 равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно совокупность выражений x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности$

Ответ: $левая фигурная скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Приведем другое решение.

Перепишем уравнение в виде

$7 плюс 2 синус x косинус x=7 синус x плюс 7 косинус x равносильно 7 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =7 плюс 2 синус x косинус x.$

Обозначим $синус x плюс косинус x=a,$ $синус x косинус x=b$ и заметим, что

$a в квадрате минус 2b= левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка в квадрате минус 2 синус x косинус x= синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x минус 2 синус x косинус x= синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x=1.$

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

$система выражений 7a=7 плюс 2b a в квадрате минус 2b=1 конец системы .$

Из первого уравнения $2b=7a минус 7.$ Подставляя это во второе уравнение, получим

$a в квадрате минус 7a плюс 7=1 равносильно a в квадрате минус 7a плюс 6=0 равносильно совокупность выражений a=1,a=6. конец совокупности .$

Второй вариант невозможен, поскольку

$a= синус x плюс косинус x меньше или равно 1 плюс 1=2.$

Итак, $a=1,$ $b= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 7a минус 7 правая круглая скобка =0,$ откуда $синус x косинус x=0.$ Разберем два случая.

Если $синус x=0,$ то $1=a=0 плюс косинус x,$ откуда $косинус x=1,$ поэтому $x=2 Пи k,k принадлежит Z .$

Если $косинус x=0,$ то $1=a= синус x плюс 0,$ откуда $синус x=1,$ поэтому $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ Для обоих наборов выполнены равенства $a= синус x плюс косинус x$ и $b= синус x косинус x,$ поэтому они подходят в исходное уравнение.

Ключ