Радиус основания конуса равен R, высота H. В конус вписан цилиндр, одно основание которого лежит на основании конуса, а другое — на боковой поверхности конуса. Какое наибольшее значение может иметь объем цилиндра?
Пусть A и B — диаметрально противоположные точки основания конуса с вершиной S, A1 и B1 — точки пересечения верхнего основания цилиндра с образующими AS и BS соответственно, O и O1 — центры оснований цилиндра и середины отрезков AB и A1B1 соответственно. Тогда треугольники SO1B1 и SOB подобны. Обозначим O1B1 за x, тогда
Объем цилиндра равен:
Первый множитель константа, а производная второго равна поэтому положительна при Значит, функция возрастает при и убывает при а при принимает наибольшее значение при неотрицательных x. Для него получаем:
Ответ: