РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 1267 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.3. Правильная четырёхугольная пирамида, 3.19. Шар, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел, 4.1. Площадь поверхности многогранников

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Задания на 10 баллов

Высота правильной четырехугольной пирамиды меньше радиуса описанной около нее сферы в 4 раза. Найдите квадрат отношения площади боковой поверхности пирамиды к площади ее основания.

Решение. Рассмотрим диагональное сечение пирамиды SABCD. Обозначим за O  — центр основания пирамиды, за a  — длину ребра основания и за h  — высоту пирамиды, тогда ее боковое ребро SA будет равно

$SA = корень из: начало аргумента: SO в квадрате плюс OA в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента AB правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a в квадрате конец аргумента .$

По условию радиус описанной окружности треугольника ASC в четыре раза больше высоты пирамиды, то есть $R=4h.$ С другой стороны,

$R= дробь: числитель: AS умножить на SC умножить на AC, знаменатель: 4S_ABC конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a в квадрате конец аргумента в квадрате умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента a, знаменатель: 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби h умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента a конец дроби = дробь: числитель: h в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a в квадрате , знаменатель: 2h конец дроби =4h,$

откуда:

$h в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a в квадрате =8h в квадрате равносильно a в квадрате =14h в квадрате равносильно a=h корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$

Высота равнобедренного треугольника ASB равна:

$корень из: начало аргумента: AS в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби a в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби a в квадрате конец аргумента .$

Значит, отношение площади боковой поверхности к площади основания равно:

$дробь: числитель: 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на a умножить на корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби a в квадрате конец аргумента , знаменатель: a в квадрате конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 4h в квадрате плюс a в квадрате конец аргумента , знаменатель: a конец дроби ,$

а квадрат этого отношения равен:

$дробь: числитель: 4h в квадрате плюс a в квадрате , знаменатель: a в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 4h в квадрате плюс 14h в квадрате , знаменатель: 14h в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: 14 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 7 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 9, знаменатель: 7 конец дроби .$

1267

$дробь: числитель: 9, знаменатель: 7 конец дроби .$

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1267	$дробь: числитель: 9, знаменатель: 7 конец дроби .$