Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Вы­со­та пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды мень­ше ра­ди­у­са опи­сан­ной около нее сферы в 4 раза. Най­ди­те квад­рат от­но­ше­ния пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды к пло­ща­ди ее ос­но­ва­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим диа­го­наль­ное се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD. Обо­зна­чим за O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, за a  — длину ребра ос­но­ва­ния и за h  — вы­со­ту пи­ра­ми­ды, тогда ее бо­ко­вое ребро SA будет равно

SA = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SO в квад­ра­те плюс OA в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та AB пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

По усло­вию ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ASC в че­ты­ре раза боль­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды, то есть R=4h. С дру­гой сто­ро­ны,

R= дробь: чис­ли­тель: AS умно­жить на SC умно­жить на AC, зна­ме­на­тель: 4S_ABC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та a, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби h умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та a конец дроби = дробь: чис­ли­тель: h в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2h конец дроби =4h,

от­ку­да:

h в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a в квад­ра­те =8h в квад­ра­те рав­но­силь­но a в квад­ра­те =14h в квад­ра­те рав­но­силь­но a=h ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та .

Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ASB равна:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AS в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AB пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

Зна­чит, от­но­ше­ние пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти к пло­ща­ди ос­но­ва­ния равно:

дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на a умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4h в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: a конец дроби ,

а квад­рат этого от­но­ше­ния равен:

дробь: чис­ли­тель: 4h в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4h в квад­ра­те плюс 14h в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 14h в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .


Аналоги к заданию № 1267: 1277 Все

Классификатор алгебры: 3.3. Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, 3.19. Шар, 3.24. Ком­би­на­ции мно­го­гран­ни­ков и круг­лых тел, 4.1. Пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ков
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024