В правильной треугольной пирамиде DABC все ребра равны 6 см, точки K и P — середины ребер AC и DB соответственно. Через отрезки DK и CP проведены параллельные между собой плоскости. Найдите объем тела, ограниченного двумя данными плоскостями сечений.
Пусть O — середина отрезка BK. Тогда PO — средняя линия треугольника BDK, поэтому PO параллельна DK и, следовательно, DK параллельна плоскости PCO, поэтому PCO — одна из рассматриваемых плоскостей. Пусть прямая CO пересекает сторону AB в точке T, тогда PCT — сечение пирамиды данной плоскостью. По теореме Менелая для треугольника ABK и прямой TOC получаем:
Пусть Z — середина AT, тогда 
и 
тогда по теореме Фалеса прямые PT и DZ параллельны. Кроме того PO параллельна DK, следовательно, плоскость KDZ параллельна плоскости CPT и KDZ — вторая интересующая нас плоскость.
Вычислим объемы частей:
Значит, объем оставшейся между плоскостями части равен:
Осталось найти объем правильной пирамиды, все ребра которой равны.
Пусть ребро пирамиды равно a. Тогда:
Пусть, далее, H — основание высоты пирамиды. Тогда:
По теореме Пифагора:
Получаем:
В нашем случае 
поэтому:
Ответ: 