РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 1417 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.2. Правильная треугольная пирамида, 3.16. Цилиндр, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел, 4.4. Объёмы круглых тел

Методы алгебры: Вспомогательная окружность, Теорема о трёх перпендикулярах

Задания на 10 баллов

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит равнобедренная трапеция ABCD с меньшим основанием 4 см, боковой стороной 8 см и углом 120°. Через ребро B₁C₁ и вершину A призмы проведено сечение. Найдите объем цилиндра, вписанного в эту призму, если площадь сечения равна 64 см².

Решение. Будем считать, что AD и BC  — основания трапеции. Более того, будем считать, что AD  — большее основание трапеции.

Поскольку B₁C₁ параллелен BC и AD, сечение, описанное в условии  — трапеция AB₁C₁D.

Пусть BH и CK  — высота трапеции ABCD. Тогда

$AH=AB синус \angle ABH=8 синус левая круглая скобка 120 градусов минус 90 градусов правая круглая скобка =8 синус 30 градусов =8 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =4.$

Аналогично, $KD=4$ и тогда

$AD=AH плюс HK плюс KD=4 плюс BC плюс 4=4 плюс 4 плюс 4=12.$

По теореме о трех перпендикулярах B₁H перпендикулярен AD, поскольку его проекция на плоскость основания это BH, а BH перпендикулярен AD. Тогда

$64=S_AB_1C_1D= дробь: числитель: AD плюс B_1C_1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на B_1H= дробь: числитель: 12 плюс 4, знаменатель: 2 конец дроби умножить на B_1H=8B_1H,$

откуда $B_1H=64 : 8=8 .$

Далее,

$BH=BA косинус 30 градусов =8 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $BB_1= корень из: начало аргумента: B_1H в квадрате минус BH в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 64 минус 48 конец аргумента =4 .$

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты, то есть $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Эта окружность будет основанием цилиндра.

Значит,

$V= Пи R в квадрате h= Пи умножить на левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате умножить на 4=48 Пи .$

Ответ: $48 Пи .$

1417

$48 Пи .$

Методы алгебры: Вспомогательная окружность, Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1417	$48 Пи .$